^ 1.01.1Kapusta, Janos, The square, the circle, and the golden proportion: a new class of geometrical constructions (PDF), Forma, 2004, 19: 293–313 [2012-08-09], (原始内容 (PDF)于2020-09-18)
白銀比例, 白銀分割率是一個無理數的數學常數, 符號δs, 定義為以下的數值, 數表, 无理数2, displaystyle, color, blue, sqrt, displaystyle, color, blue, varphi, displaystyle, color, blue, sqrt, displaystyle, color, blue, sqrt, displaystyle, color, blue, delta, displaystyle, color, blue, displaystyle, c. 白銀分割率是一個無理數的數學常數 符號dS 定義為以下的數值 白銀比例白銀比例數表 无理数2 displaystyle color blue sqrt 2 f displaystyle color blue varphi 3 displaystyle color blue sqrt 3 5 displaystyle color blue sqrt 5 d S displaystyle color blue delta S e displaystyle color blue e p displaystyle color blue pi 白銀矩形命名數字dS名稱白銀比例白銀比白銀分割比識別種類無理數符號d S displaystyle delta S 位數數列編號 A014176性質以此為根的多項式或函數x 2 2 x 1 0 displaystyle x 2 2x 1 0 表示方式值d S displaystyle delta S approx 2 41421356 代數形式1 2 displaystyle 1 sqrt 2 二进制10 01101010 0000 1001 1110 0110 十进制2 41421356 2373 0950 4880 1688 十六进制2 6A09E667 F3BC C908 B2FB 1366 查论编 1 2 2 4142135623730950488 displaystyle 1 sqrt 2 2 4142135623730950488 又稱白銀比例 白銀分割 白銀比例的命名和黃金比例類似 斐波那契数列後一項和前一項的比值會趨近黃金比例 而佩爾數数列後一項和前一項的比值會趨近白銀比例 白銀比例和2的算術平方根 三角平方數 佩爾數及正八邊形都有關係 希臘時期的數學家就已開始研究白銀分割率 但當時沒有為此一數值命名 若二個數a displaystyle a 和b displaystyle b 的比值等於白銀比 則二數可以滿足以下的方程 2 a b a a b d S displaystyle frac 2a b a frac a b equiv delta S 白銀比例可以用連續分數 2 2 2 2 表示 d S 2 1 2 1 2 1 2 displaystyle delta S 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 ddots 連續分數的漸近分數T 2 1 5 2 12 5 29 12 70 29 displaystyle T left frac 2 1 frac 5 2 frac 12 5 frac 29 12 frac 70 29 cdots right 即為連續二項佩爾數的比值 這些分數可提供白銀分割率的準確丟番圖逼近 就像連續二項斐波那契数列的比值可作為黃金比例的丟番圖逼近一様 白银比例即第2贵金属分割 目录 1 性質 1 1 乘幂 1 2 三角性質 2 紙張大小及白銀長方形 3 參考資料 4 外部連結性質 编辑白銀比例的共軛數1 2 1 d S 0 41 displaystyle 1 sqrt 2 tfrac 1 delta S sim 0 41 其絕對值小於1 因此白銀比例為皮索特 維貢伊拉卡文數 PV數 且白銀比例是第二小的二次PV數 最小的是黃金比例 白銀分割的乘幂距最接近整數的距離為1 d S n 0 41 n displaystyle frac 1 delta S n sim 0 41 n 會趨近於0 乘幂 编辑 以下列出白銀比例的幾個乘幂 d S 0 1 1 displaystyle delta S 0 1 1 d S 1 d S 0 2 2 2 2 2 2 2 41421 displaystyle delta S 1 delta S 0 2 2 2 2 2 2 dots approx 2 41421 d S 2 2 d S 1 5 1 4 1 4 1 5 82842 displaystyle delta S 2 2 delta S 1 5 1 4 1 4 1 dots approx 5 82842 d S 3 5 d S 2 14 14 14 14 14 07107 displaystyle delta S 3 5 delta S 2 14 14 14 14 dots approx 14 07107 d S 4 12 d S 5 33 1 32 1 32 33 97056 displaystyle delta S 4 12 delta S 5 33 1 32 1 32 dots approx 33 97056 乘幂的遞迴關係式如下 d S n K n d S K n 1 displaystyle delta S n K n delta S K n 1 其中 K n 2 K n 1 K n 2 displaystyle K n 2K n 1 K n 2 因此可用上式得到以下乘幂的值 d S 5 29 d S 12 82 82 82 82 82 01219 displaystyle delta S 5 29 delta S 12 82 82 82 82 dots approx 82 01219 利用K 0 1 displaystyle K 0 1 及 K 1 2 displaystyle K 1 2 為初始條件 可以利用求解以下的遞迴關係式得到K n displaystyle K n 的解 K n 2 K n 1 K n 2 displaystyle K n 2K n 1 K n 2 K n displaystyle K n 可以表示為以下的式子 K n 1 2 2 d S n 1 2 d S n 1 displaystyle K n frac 1 2 sqrt 2 delta S n 1 2 delta S n 1 三角性質 编辑 白银比例和p 8 22 5 displaystyle tfrac pi 8 22 5 circ 的三角函數數值有關 sin p 8 cos 3 p 8 1 2 2 2 1 2 d s displaystyle textstyle sin frac pi 8 cos frac 3 pi 8 frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt frac 1 2 delta s cos p 8 sin 3 p 8 1 2 2 2 d s 2 displaystyle textstyle cos frac pi 8 sin frac 3 pi 8 frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt frac delta s 2 tan p 8 cot 3 p 8 2 1 1 d s displaystyle textstyle tan frac pi 8 cot frac 3 pi 8 sqrt 2 1 frac 1 delta s cot p 8 tan 3 p 8 2 1 d s displaystyle textstyle cot frac pi 8 tan frac 3 pi 8 sqrt 2 1 delta s 邊長為a的正八邊形面積可以用下式表示 A 2 a 2 cot p 8 2 1 2 a 2 4 828427 a 2 displaystyle A textstyle 2a 2 cot frac pi 8 2 1 sqrt 2 a 2 approx 4 828427a 2 紙張大小及白銀長方形 编辑 依ISO 216的紙張尺寸其長寬之間的比例為1 2 displaystyle 1 sqrt 2 若其中切掉一塊邊長和長方形短邊相同的正方形 剩下的長方形長寬比例為1 2 1 displaystyle 1 sqrt 2 1 也等於1 2 1 displaystyle 1 sqrt 2 1 此比例和白銀比例有關 若一長方形的縱橫比為白銀比例 此長方形有時會稱為 白銀長方形 不過白銀長方形也可以指縱橫比為 2的長方形 若將白銀長方形切掉一塊邊長和長方形短邊相同的正方形 剩下的會是白銀長方形 再重覆此步驟一次 會得到原來那一種白銀長方形 但其比例為原來的2 1 displaystyle sqrt 2 1 倍 1 不過只有縱橫比為2 displaystyle sqrt 2 的長方形 其對半切開後可以得到二個縱橫比例也是2 displaystyle sqrt 2 的較小長方形 白銀分割和正八邊形有關 若正八邊形分成二個相同大小的等腰梯形及一個長方形 則長方形的縱橫比恰為白銀比例 且梯形的四邊比例會是1 1 1 d S displaystyle 1 1 1 delta S 若正八邊形的邊長為t 則其內切圓的直徑為d S t displaystyle delta S t 則面積為2 d S t 2 displaystyle 2 delta S t 2 1 參考資料 编辑 1 0 1 1 Kapusta Janos The square the circle and the golden proportion a new class of geometrical constructions PDF Forma 2004 19 293 313 2012 08 09 原始内容存档 PDF 于2020 09 18 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Silver Ratio MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 白銀比例 amp oldid 73858277, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,