牟合方盖

牟合方盖是几何体，是两支等半径圆柱躺在平面上垂直相交的交集，像兩個方形蓋子合在一起，稱作「牟合方蓋」。

牟合方蓋

阿基米德與祖沖之用不同方法計出球體積是${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$，r為圓柱半徑。祖沖之正是计出牟合方蓋体积为${\textstyle {\frac {16}{3}}r^{3}}$，从而推出球体积公式。

初出

《九章算術》曾認為，球體外切圓柱體積與球體積之比等於正方形與其內切圓面積之比。魏國數學家劉徽在他為《九章算術》作的註釋指出，原書說法不正確，只有「牟合方蓋」（兩支垂直相交圓柱體的交集之體積）與球體積之比，才正好等於正方形與其內切圓的面積之比，即是：

球体积：牟合方盖体积＝${\textstyle \pi :4}$ 

但劉徽沒有提供牟合方蓋體積公式，也就得不出球體積公式。

推導

一直到南北朝，數學家祖冲之和其子祖暅之才另創新法求出牟合方蓋與球體體積。他們的求法紀錄在唐代李淳風為九章算數作的注解中，流傳至今。

（臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉。又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

這段說明的形狀可看做是${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ 塊牟合方蓋，外接一立方體；${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ 塊牟合方蓋即「內棋」，立方體減去內棋餘部即為「外棋」。

更合四棋，复横断之。以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法，以勾幂减弦幂，则余为股幂。若领余高自乘，减本方之幂，余即内棋横断上方之幂也。本方之幂，即外四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微。

現將內外棋橫向切開。內棋截面是正方形，可用勾股弦定理求出其邊長與圓半徑的關係式。圓半徑（立方體邊長）r，底面到截面高h，則正方形邊長${\textstyle {\sqrt {r^{2}-h^{2}}}}$ ，面積${\textstyle r^{2}-h^{2}}$ ；也就是說外棋截面積為${\textstyle r^{2}-(r^{2}-h^{2})=h^{2}}$ 。

按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。

現以立方體的底面和底面以外一粒頂點作一四角錐（這形狀稱陽馬）。對陽馬距離角錐h處橫向切開，則截面是正方形，面積等於${\displaystyle h^{2}}$ 。

祖氏父子在此解釋：所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等。這就是今天所稱的「祖暅原理」。套用此定理，

外棋截面積＝陽馬截面積＝${\displaystyle h^{2}}$ 

所以外棋體積也等於陽馬體積。

三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方矣三分之二，较然验矣。

《九章算术》已有提到，阳马体积等于其外接立方体积${\textstyle {\tfrac {1}{3}}}$ ^[1]，所以內棋體積是立方體的${\textstyle {\tfrac {2}{3}}}$ ，即${\textstyle {\tfrac {2r^{3}}{3}}}$ 。由於內棋是牟合方蓋的${\textstyle {\tfrac {1}{8}}}$ ，故牟合方蓋體積為

${\textstyle {\frac {2}{3}}\times 8={\frac {16}{3}}r^{3}}$ 。

而球體積即為

${\textstyle {\frac {16}{3}}r^{3}\times {\frac {\pi }{4}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ 。

註釋

1. 《九章算術》卷第五「商功」，十五問。

參考資訊

• 祖沖之、球體公式及其他 （页面存档备份，存于互联网档案馆），EpisteMath | 數學知識
• ，中文數學數字圖書館
• 於Google SketchUp 3D 模型庫的「牟合方蓋」立體模型 Archive.is的存檔，存档日期2013-01-24