S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.
十二月 13, 2023
曲率形式, 微分几何中, curvature, form, 描述了主丛上的联络的曲率, 它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广, 目录, 定义, 向量丛上的, 比安基恒等式, 参看, 参考定义, 编辑令, 为一个李群, 的李代数为, displaystyle, nbsp, displaystyle, nbsp, 为一个主, displaystyle, omega, nbsp, 表示, 上一个埃雷斯曼联络, 它是一个e上的, 形式, 那么就是, 上的, 形式, 定义为, displaystyle, omega. 微分几何中 曲率形式 curvature form 描述了主丛上的联络的曲率 它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广 目录 1 定义 1 1 向量丛上的曲率形式 2 比安基恒等式 3 参看 4 参考定义 编辑令 G 为一个李群 记 G 的李代数为 g displaystyle g nbsp 设 E B displaystyle E to B nbsp 为一个主 G 丛 令 w displaystyle omega nbsp 表示 E 上一个埃雷斯曼联络 它是一个E上的 g 值 1 形式 那么曲率形式就是 E 上的 g 值 2 形式 定义为 W d w 1 2 w w D w displaystyle Omega d omega 1 over 2 omega omega D omega nbsp 这里 d displaystyle d nbsp 表示标准外导数 displaystyle nbsp 是李括号 而 D 表示外共变导数 或者说 W X Y d w X Y w X w Y displaystyle Omega X Y d omega X Y omega X omega Y nbsp 向量丛上的曲率形式 编辑 若 E B displaystyle E to B nbsp 是一个纤维丛 其结构群为 G 我们可以在相伴的主 G 丛上重复同样的定义 若 E B displaystyle E to B nbsp 是一个向量丛则我们可以把 w displaystyle omega nbsp 看作是 1 形式的矩阵 则上面的公式取如下形式 W d w w w displaystyle Omega d omega omega wedge omega nbsp 其中 displaystyle wedge nbsp 是楔积 更准确地讲 若 w j i displaystyle omega j i nbsp 和 W j i displaystyle Omega j i nbsp 分别代表 w displaystyle omega nbsp 和 W displaystyle Omega nbsp 的分量 所以每个 w j i displaystyle omega j i nbsp 是一个通常的 1 形式而每个 W j i displaystyle Omega j i nbsp 是一个普通的2 形式 则 W j i d w j i k w k i w j k displaystyle Omega j i d omega j i sum k omega k i wedge omega j k nbsp 例如 黎曼流形的切丛 我们有 O n displaystyle O n nbsp 作为结构群而 W displaystyle Omega nbsp 是在 o n displaystyle o n nbsp 中取值的 2 形式 给定标准正交基 可以视为反对称矩阵 在这种情况 W displaystyle Omega nbsp 是曲率张量的一种替换表述 也就是在曲率张量的标准表示中 我们有 R X Y Z W X Y Z displaystyle R X Y Z Omega X wedge Y Z nbsp 上式使用了黎曼曲率张量标准记号 比安基恒等式 编辑如果 8 displaystyle theta nbsp 是标架丛上的典范向量值 1 形式 联络形式 w 的挠率 8 displaystyle Theta nbsp 是由结构方程定义的向量值 2 形式 8 d 8 w 8 D 8 displaystyle Theta d theta omega wedge theta D theta nbsp 这里 D 代表外共变导数 第一比安基恒等式 对于标架丛的有挠率联络 取以下形式 D 8 W 8 1 2 W 8 displaystyle D Theta Omega wedge theta 1 over 2 Omega theta nbsp 第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立 并有如下形式 D W 0 displaystyle D Omega 0 nbsp 参看 编辑联络 主丛 陈 西蒙斯形式 Chern Simons form 黎曼流形的曲率 规范场论参考 编辑S Kobayashi and K Nomizu Foundations of Differential Geometry Chapters 2 and 3 Vol I Wiley Interscience 取自 https zh wikipedia org w index php title 曲率形式 amp oldid 25366228 比安基恒等式, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,