此条目的主題是抽象代数中的概念, 关于, 的其他含义, 請見, 消歧义, 在數學的抽象代數中, 環上的, module, over, ring, 的概念是對向量空間概念的推廣, 這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體, 進而放寬純量可以是環, 因此, 同向量空間一樣是加法交换群, 在環元素和元素之間定義了乘積運算, 并且環元素和元素的乘積是符合結合律的, 和分配律的, 非常密切的關聯於群的表示理論, 它們還是交換代數和同調代數的中心概念, 并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中, 目录, 定義, 例子, 子及同態, . 此条目的主題是抽象代数中的概念 关于 模 的其他含义 請見 模 消歧义 在數學的抽象代數中 環上的模 module over a ring 的概念是對向量空間概念的推廣 這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體 進而放寬純量可以是環 因此 模同向量空間一樣是加法交换群 在環元素和模元素之間定義了乘積運算 并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的 註 1 和分配律的 模非常密切的關聯於群的表示理論 它們還是交換代數和同調代數的中心概念 并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中 目录 1 定義 2 例子 3 子模及同態 4 其他定義及表達法 5 注释定義 编辑假設R 是環 ring 且1R R 1R 是其乘法運算的單位元素 則左R 模包括一個交換群 M 以及一個映射 或運算 R M M 叫做純量乘法或數積 通常把此運算的值 r x 記作 rx 或是 r x r R 且 x M 並且滿足以下條件對所有r s R x y M r s x r s x displaystyle r cdot s cdot x r cdot s cdot x r x y r x r y displaystyle r cdot x y r cdot x r cdot y r s x r x s x displaystyle r s cdot x r cdot x s cdot x 1 R x x displaystyle 1 R cdot x x 有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1R 所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件 並把以上的定義稱為 帶單位元 1R 的左模 一個左R 模M 記作RM 類似的右R 模M 記作MR 一個右R 模M或MR與左R 模的定義相似 只是環的元素在右邊 即其純量乘法是 M R M 在左R 模的定義中 環的元素r 和s 是在M 的元素x 的左邊 若R 是可交換的 則左R 模與右R 模是一樣的 簡稱為R 模 若R 是一個域則R 模就是R 向量空間 模是向量空間的推廣 有很多與向量間相同的性質 但通常沒基底 例子 编辑所有 交換群 M是一個在整數環Z的模 其純量乘法是nx x x x n個相加 對於n gt 0 0x 0 以及 n x nx 對於n lt 0 若R是一個環而n是一個自然數 則 Rn 是一個R 模 若M是一個光滑流形 則由M至實數的光滑函数是一個環R 在M上的所有向量場組成一個R 模 所有 n n 實數矩陣 組成一個環R 歐幾里得空間Rn 是一個左R 模 當中純量乘法就是矩陣的純量乘法 若R是一個環而I是其中一個 左理想 則I是一個左R 模 子模及同態 编辑假設M是左R 模兼N是M的子集 如果對於所有n N及r R 乘積rn N 若是右模 nr 則N是RM的子模 或更準確地 R 子集 若M和N是左R 模 若映射 f M gt N有對所有m n M及r s R f rm sn rf m sf n 則稱映射 f為R 模同態 像其他同態 模同態保存了模的結構 其他定義及表達法 编辑若M是左R 模 則一個R中元素r之作用定義為映射M M 它將每個x映至rx 或者在右模的情況是xr 這必然是阿貝爾群 M 的群自同態 全體M的自同態記作EndZ M 它在加法與合成下構成一環 而將R的元素r映至其作用則給出從R至EndZ M 之同態 如此的環同態R EndZ M 稱作R在阿貝爾群M上的一個表示 左R 模的另一種等價定義是 一個阿貝爾群M配上一個R的表示 一個表示稱作忠實的 若且唯若R EndZ M 是單射 以模論術語來說 這意謂若r是R的元素 且使得對所有M中的x都有rx 0 則r 0 任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z nZ的忠實表示 注释 编辑 在同環中的乘法一起用的時候 取自 https zh wikipedia org w index php title 模 amp oldid 74494862, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,