柯西, 歐拉方程, 柯西, 尤拉方程是形式如, displaystyle, 其中b, displaystyle, 是常數, 的二階變係數常微分方程, 解法, 编辑觀察可知y, displaystyle, nbsp, 是一個特定解, displaystyle, nbsp, displaystyle, bxrx, nbsp, displaystyle, nbsp, 因為x, displaystyle, nbsp, 若且唯若x, displaystyle, nbsp, 所以要考慮二次方程r, displaystyle, . 柯西 尤拉方程是形式如 x 2 y b x y c y 0 displaystyle x 2 y bxy cy 0 其中b c displaystyle b c 是常數 的二階變係數常微分方程 解法 编辑觀察可知y x r displaystyle y x r nbsp 是一個特定解 0 x 2 y b x y c y displaystyle 0 x 2 y bxy cy nbsp x 2 r r 1 x r 2 b x r x r 1 c x r displaystyle x 2 r r 1 x r 2 bxrx r 1 cx r nbsp r 2 b 1 r c x r displaystyle r 2 b 1 r c x r nbsp 因為x r 0 displaystyle x r 0 nbsp 若且唯若x 0 displaystyle x 0 nbsp 所以要考慮二次方程r 2 b 1 r c 0 displaystyle r 2 b 1 r c 0 nbsp 的解 r 1 2 1 b b 2 2 b 4 c 1 displaystyle r 1 over 2 left 1 b pm sqrt b 2 2b 4c 1 right nbsp 設p q displaystyle p q nbsp 為二次方程的解 若p q displaystyle p q nbsp 不相等 y displaystyle y nbsp 的一般解則為y A x p B x q displaystyle y Ax p Bx q nbsp 若p q 1 b 2 displaystyle p q 1 b 2 nbsp 其中一個特定解為x r ln x displaystyle x r ln x nbsp x 2 x r ln x b x x r ln x c x r ln x displaystyle x 2 x r ln x bx x r ln x cx r ln x nbsp x r ln x r 2 b 1 r c 2 r b 1 displaystyle x r ln x r 2 b 1 r c 2r b 1 nbsp 代入r 1 b 2 displaystyle r 1 b 2 nbsp 便知右方括號內等於0 因此核實x r ln x displaystyle x r ln x nbsp 是一個特定解 於是 便有兩個線性獨立解 繼而可得 y A x r B x r ln x displaystyle y Ax r Bx r ln x nbsp 参见 编辑里卡蒂方程 伯努利微分方程 克莱罗方程 全微分方程 线性微分方程 取自 https zh wikipedia org w index php title 柯西 歐拉方程 amp oldid 74212809, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,