柯西-歐拉方程

柯西-尤拉方程是形式如 ${\displaystyle x^{2}y''+bxy'+cy=0}$（其中${\displaystyle b,c}$是常數）的二階變係數常微分方程。

解法

觀察可知${\displaystyle y=x^{r}}$ 是一個特定解：

${\displaystyle 0=x^{2}y''+bxy'+cy}$ 

${\displaystyle =x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}}$ 

${\displaystyle =(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}}$ 

因為${\displaystyle x^{r}=0}$ 若且唯若${\displaystyle x=0}$ ，所以要考慮二次方程${\displaystyle r^{2}+(b-1)r+c=0}$ 的解。

${\displaystyle r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).}$ 

設${\displaystyle p,q}$ 為二次方程的解。若${\displaystyle p,q}$ 不相等，${\displaystyle y}$ 的一般解則為${\displaystyle y=Ax^{p}+Bx^{q}}$ 。

若${\displaystyle p=q=(1-b)/2}$  ，其中一個特定解為${\displaystyle x^{r}\ln {x}}$ ：

${\displaystyle x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}}$ 

${\displaystyle =x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)}$ 

代入${\displaystyle r=(1-b)/2}$ 便知右方括號內等於0。因此核實${\displaystyle x^{r}\ln {x}}$ 是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得：${\displaystyle y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}}$ 。

参见

• 里卡蒂方程
• 伯努利微分方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程
• 线性微分方程