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一月 29, 2023
李氏括号, 此條目介紹的是李括號在向量場中的應用, 关于其他應用下的李括號, 请见, 李代數, 向量場中的李括號, 於微分拓樸的數學領域下, 稱為jacobi, 李括號或向量場的交換子, 是在一微分流形m中作用在任意兩個向量場x, y的算子, 此一算子作用後也會形成向量場, 標示, 李括號, 在概念上是沿著由x生成向量流, 英语, vector, flow, 的y微導, 常寫為, displaystyle, mathcal, 沿著, 的y, 李微導, 這可以推廣到沿著由x生成的流上任意张量场的李导数, 李括號是個r. 此條目介紹的是李括號在向量場中的應用 关于其他應用下的李括號 请见 李代數 向量場中的李括號 於微分拓樸的數學領域下 稱為Jacobi 李括號或向量場的交換子 是在一微分流形M中作用在任意兩個向量場X 與 Y的算子 此一算子作用後也會形成向量場 以 X Y 標示 李括號 X Y 在概念上是沿著由X生成向量流 英语 Vector flow 的Y微導 常寫為 L X Y displaystyle mathcal L X Y 沿著 X 的Y 李微導 這可以推廣到沿著由X生成的流上任意张量场的李导数 李括號是個R 雙線性算子 且將所有在流形M 的光滑向量體轉成 無限維 李代數 李括號在微分幾何與微分拓樸中相當重要 例如在作為非線性控制幾何理論基礎的弗罗贝尼乌斯定理中就可看到李括號 1 目录 1 定義 1 1 作為微導的向量場 1 2 流與極限 1 3 以坐標表示 2 性質 3 應用 4 總結 5 相關條目 6 參考 7 其他阅读定義 编辑李括號有下列三種定義 這三種定義不同 但是等價 作為微導的向量場 编辑 在一流形M上的所有平滑向量場X 可以視為作用在C M 的平滑函數 微分算子 的確 每個向量場 X 可成為在C M 上的微分算子 导子 因此可定義 X f 的函數 計算函數在方向X p 上點p的f值方向导数 更進一步 於C M 的任意微導都是源於唯一的平滑向量場X 一般來說 任意兩微導 d 1 displaystyle delta 1 與d 2 displaystyle delta 2 的 交換子 d 1 d 2 d 2 d 1 displaystyle delta 1 circ delta 2 delta 2 circ delta 1 亦是微導 當中 displaystyle circ 為算子之組合 f C M displaystyle f in C infty M 能用於定義關乎微導交換子向量場的李括號 X Y f X Y f Y X f displaystyle X Y f X Y f Y X f 流與極限 编辑 令F t X displaystyle Phi t X 為關乎向量場 X 的流 及 D 表示切線圖導數算子 tangent map derivative operator 那麼在點x M 的 X 與Y 的李括號可以定義為 李导数 X Y x L X Y x lim t 0 D F t X Y F t X x Y x t d d t t 0 D F t X Y F t X x displaystyle X Y x mathcal L X Y x lim t to 0 frac mathrm D Phi t X Y Phi t X x Y x t left tfrac mathrm d mathrm d t right t 0 mathrm D Phi t X Y Phi t X x 這也測量了連續方向的failure of the flow X Y X Y displaystyle X Y X Y 至點 x X Y x 1 2 d 2 d t 2 t 0 F t Y F t X F t Y F t X x d d t t 0 F t Y F t X F t Y F t X x displaystyle X Y x left tfrac 1 2 tfrac mathrm d 2 mathrm d t 2 right t 0 Phi t Y circ Phi t X circ Phi t Y circ Phi t X x left tfrac mathrm d mathrm d t right t 0 Phi sqrt t Y circ Phi sqrt t X circ Phi sqrt t Y circ Phi sqrt t X x 以坐標表示 编辑 雖上述李括號的定義為內在的 和流形M上的座標選擇無關 但在實務上常常會想計算特定坐標系 x i displaystyle x i 下的李氏括号 可以令 i x i displaystyle partial i tfrac partial partial x i 為切線束的相關局部基底 使得對平滑函數X i Y i M R displaystyle X i Y i M to mathbb R 而言 一般向量場能寫成 X i 1 n X i i displaystyle textstyle X sum i 1 n X i partial i 與 Y i 1 n Y i i displaystyle textstyle Y sum i 1 n Y i partial i 因此李括號可由以下方式計算 X Y i 1 n X Y i Y X i i i 1 n j 1 n X j j Y i Y j j X i i displaystyle X Y sum i 1 n left X Y i Y X i right partial i sum i 1 n sum j 1 n left X j partial j Y i Y j partial j X i right partial i 若 M 是Rn的某開子集 那麼向量場X 與 Y 可以寫成由平滑函數X M R n displaystyle X M to mathbb R n 與Y M R n displaystyle Y M to mathbb R n 形式 且李括號 X Y M R n displaystyle X Y M to mathbb R n 的表示式如下 X Y J Y X J X Y displaystyle X Y J Y X J X Y 此處之 J Y displaystyle J Y 與 J X displaystyle J X 是 n n 雅可比矩阵 乘上 n 1 欄向量 X 與 Y 性質 编辑向量場的李括號等同於所有在M 也就是切線束的平滑截 T M M displaystyle TM to M 上實向量空間V G T M displaystyle V Gamma TM 中的李代數的結構 表 為具以下性質之 V V V displaystyle V times V to V 的映射 R 雙線性形式 反對稱性 X Y Y X displaystyle X Y Y X 雅可比恒等式 X Y Z Z X Y Y Z X 0 displaystyle X Y Z Z X Y Y Z X 0 第二性質可馬上推得對任意 X displaystyle X 會使具 X X 0 displaystyle X X 0 成立 更進一步說 李括號具有 乘积法则 給定一平滑 純量值 函數 f 與在M上的向量場 由每點x M 的純量乘向量Yx後可以得到一個新的向量場fY 如此 X f Y X f Y f X Y displaystyle X fY X f Y f X Y 此處用向量場Y乘上純量函數 X f 及向量場 X Y 與純量函數 f 如此引導出一具李括號的向量場至李代數 若X 與Y的李括號為零 表示在這些方向可以定義以X 與Y作為座標向量場而內嵌入於M之曲面 定理 X Y 0 displaystyle X Y 0 若且為若X 與 Y的流局部交換 此指對所有x M 且足夠小的s t F t Y F s X x F s X F t Y x displaystyle Phi t Y Phi s X x Phi s X Phi t Y x 而這為弗罗贝尼乌斯定理的特例 應用 编辑在證明控制仿射無漂系統 driftless affine control system 的小時間局部可控制性 small time local controllability STLC 時 李氏括号是其中重要的一部份 總結 编辑如上所述 李导数可被視為廣義的李括號 其他可視為是 向量值微分形式 廣義李括號的有弗勒利歇尔 奈恩黑斯括号 Frolicher Nijenhuis bracket 相關條目 编辑非完整系統 回授線性化參考 编辑 Isaiah 2009 第20 21頁 nonholonomic systems Khalil 2002 第523 530頁 feedback linearization 其他阅读 编辑Hazewinkel Michiel 编 Lie bracket 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 Isaiah Pantelis Controlled parking Ask the experts IEEE Control Systems Magazine 2009 29 3 17 21 132 doi 10 1109 MCS 2009 932394 Khalil H K Nonlinear Systems 3rd Upper Saddle River NJ Prentice Hall 2002 2019 08 03 ISBN 0 13 067389 7 原始内容存档于2017 07 25 Kolar I Michor P and Slovak J Natural operations in differential geometry Springer Verlag 1993 2019 08 03 原始内容存档于2021 02 14 Extensive discussion of Lie brackets and the general theory of Lie derivatives Lang S Differential and Riemannian manifolds Springer Verlag 1995 ISBN 978 0 387 94338 1 For generalizations to infinite dimensions Lewis Andrew D Notes on Nonlinear Control Theory PDF 永久失效連結 Warner Frank Foundations of differentiable manifolds and Lie groups New York Berlin Springer Verlag 1983 1971 ISBN 0 387 90894 3 取自 https zh wikipedia org w index php title 李氏括号 amp oldid 69326521, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,