有限深方形阱

在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。

有限深方形阱。阱寬為${\displaystyle L\,\!}$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為${\displaystyle V_{0}\,\!}$。阱外位勢保持為${\displaystyle V_{0}\,\!}$。

在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。

一維阱定義

一維有限深方形阱的阱寬為${\displaystyle L\,\!}$ ，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為${\displaystyle x=-L/2\,\!}$ 與${\displaystyle x=L/2\,\!}$ 。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為${\displaystyle V_{0}\,\!}$ 。阱外位勢保持為${\displaystyle V_{0}\,\!}$ 。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數${\displaystyle \psi \,\!}$ 也不同，標記為：^[1]:78-82

${\displaystyle \psi =\psi _{1}\,\!}$ ：阱左邊，${\displaystyle x<-L/2\,\!}$ （阱外區域），

${\displaystyle \psi =\psi _{2}\,\!}$ ：阱內，${\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}$ （阱內區域），

${\displaystyle \psi =\psi _{3}\,\!}$ ：阱右邊，${\displaystyle x>L/2\,\!}$ （阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$ 是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$ 是粒子質量，${\displaystyle x\,\!}$ 是粒子位置，${\displaystyle V(x)\,\!}$ 是位勢，${\displaystyle E\,\!}$ 是能量。

阱內區域

在阱內，位勢${\displaystyle V(x)=0\,\!}$ ，方程簡化為：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!}$ 。(2)

設定波數${\displaystyle k\,\!}$ 為

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!}$ 。(3)

代入方程(2)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!}$ 。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數${\displaystyle \psi _{2}(x)\,\!}$ 是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle A\,\!}$ 與${\displaystyle B\,\!}$ 都是複值常數，由邊界條件而決定。

阱外區域

在阱外，位勢${\displaystyle V(x)=V_{0}>0\,\!}$ ，薛丁格方程為：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!}$ 。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

束縛態

假若，粒子的能量小於位勢：${\displaystyle E<V_{0}\,\!}$ ，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定

${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!}$ 。(4)

代入方程(1)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!}$ 。

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$ ，

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle F\,\!}$ ，${\displaystyle G\,\!}$ ，${\displaystyle H\,\!}$ ，${\displaystyle I\,\!}$ 都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數${\displaystyle A\,\!}$ ，${\displaystyle B\,\!}$ ，${\displaystyle F\,\!}$ ，${\displaystyle G\,\!}$ ，${\displaystyle H\,\!}$ ，${\displaystyle I\,\!}$ 的值。

束縛態的波函數

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$ 的形式為：

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$ ：阱左邊，${\displaystyle x<-L/2\,\!}$ （阱外區域），

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!}$ ：阱內，${\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}$ （阱內區域），

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$ ：阱右邊，${\displaystyle x>L/2\,\!}$ （阱外區域）。

當${\displaystyle x\,\!}$ 趨向負無窮，包含${\displaystyle F\,\!}$ 的項目趨向無窮。類似地，當${\displaystyle x\,\!}$ 趨向無窮，包含${\displaystyle I\,\!}$ 的項目趨向無窮。可是，波函數在任何${\displaystyle x\,\!}$ 都必須是有限值。因此，必須設定${\displaystyle F=I=0\,\!}$ 。阱外區域的波函數變為

${\displaystyle \psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!}$ ，

${\displaystyle \psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!}$ 。

在阱左邊，隨著${\displaystyle x\,\!}$ 越小，波函數${\displaystyle \psi _{1}(x)\,\!}$ 呈指數遞減。而在阱右邊，隨著${\displaystyle x\,\!}$ 越大，波函數${\displaystyle \psi _{3}(x)\,\!}$ 呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於${\displaystyle x=0\,\!}$ ，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

奇的波函數

假若，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$ 是奇函數，則

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)\,\!}$ ，

${\displaystyle G=-H\,\!}$ ，

${\displaystyle \psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}$ ，

由於整個波函數${\displaystyle \psi \,\!}$ 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$ 

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}$ 

將波函數的公式代入：

${\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!}$ ，(5)

${\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!}$ 。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\,\!}$ 。

從方程(3)與(4)，可以求得常數${\displaystyle \alpha \,\!}$ 與波數${\displaystyle k\,\!}$ 的關係：

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}$ 。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!}$ 。

這也造成了離散的能量。

偶的波函數

假若，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$ 是偶函數，則

${\displaystyle \psi _{2}=A\cos(kx)\,\!}$ ，

${\displaystyle G=H\,\!}$ ，

${\displaystyle \psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}$ ，

由於整個波函數${\displaystyle \psi \,\!}$ 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$ 

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}$ 

將波函數的公式代入：

${\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!}$ ，(7)

${\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!}$ 。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\,\!}$ 。

從方程(3)與(4)，可以求得常數${\displaystyle \alpha \,\!}$ 與波數${\displaystyle k\,\!}$ 的關係：

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}$ 。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!}$ 。

這也造成了離散的能量。

散射態

假若，一個粒子的能量大於位勢，${\displaystyle E>V_{0}\,\!}$ ，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，${\displaystyle E>V_{0}\,\!}$ ，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於${\displaystyle V_{0}\,\!}$ 的任意值。波數${\displaystyle \kappa \,\!}$ ，用方程式表達為${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!}$ ，也不是離散量。代入方程(1)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!}$ ，

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!}$ 。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

${\displaystyle \psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!}$ ，

${\displaystyle \psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!}$ 。

其中，${\displaystyle C_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle D_{1}\,\!}$ 、${\displaystyle C_{3}\,\!}$ 、${\displaystyle D_{3}\,\!}$ ，都是常數。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• Delta位勢壘
• 量子穿隧效應
• 盒中氣體

參考文獻

1. Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2^nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)