曲线

曲（qū）线（curve，curved line）是平滑弯曲的线段或线条，也指动点运动方向连续变化的轨迹。

历史

• 若尔当曲线定理
• 变分法（最速降線問題、等時降線）
• 希爾伯特第十六問題
• 皮亚诺曲线和其他Space-filling curve（英语：Space-filling curve）
• 卷绕数

定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设${\displaystyle I=[a,b]}$ 为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线c 就是一个连续函数c : I → X 的映像，其中X 为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若${\displaystyle I=[a,b]}$ 和${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ，f是闭曲线（closed curve）或環圈。

曲线方程

参见：参数方程

一般来说，当在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ 是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

参见：弧长

若${\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}}$ ，则其长度是

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\ dt}$ 

平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程${\displaystyle y=f(x)\,}$ ，那么它的长度就是：

${\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}$ 

其中${\displaystyle a\,}$ 、${\displaystyle b\,}$ 为${\displaystyle x\,}$ 的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程${\displaystyle x(t),y(t)}$ ，那么它的长度就是：

${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}$ 

其中${\displaystyle \alpha \,}$ 、${\displaystyle \beta \,}$ 为${\displaystyle t\,}$ 的上下限。

外部链接

• （英文）MacTutor著名曲線列圖 （页面存档备份，存于互联网档案馆）