Tautochrone Problem -- From Wolfram MathWorld. [2014-08-07]. (原始内容于2021-02-11) (英语).
行進 31, 2023
等時降線, 英語, tautochrone, curve, 或isochrone, curve, 是一種曲線, 將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑, 不計阻力, 至最低點所需的時間皆相等, 此曲線的解是擺線, 而下滑所需的時間與擺線繞轉圓的半徑平方根成正比, 與重力場強度的平方根成反比, 上的四個質點釋放位置不同, 但到達最低點的時間相等, 目录, 等時降落問題, 解析, 阿貝爾力學問題, 參見, 參考等時降落問題, 编辑等時降落問題, 英語, tautochrone, problem, 即為尋找的問題, 等. 等時降線 英語 tautochrone curve 或isochrone curve 是一種曲線 將一質點放置在此曲線上任一點使其自由下滑 不計阻力 至最低點所需的時間皆相等 此曲線的解是擺線 而下滑所需的時間與擺線繞轉圓的半徑平方根成正比 與重力場強度的平方根成反比 等時降線上的四個質點釋放位置不同 但到達最低點的時間相等 目录 1 等時降落問題 2 解析 3 阿貝爾力學問題 4 參見 5 參考等時降落問題 编辑等時降落問題 英語 The tautochrone problem 即為尋找等時降線的問題 等時降落問題最早由惠更斯解出 在他1673年出版的著作裡 利用了幾何的方法證明了此線的解為一擺線 而此問題後來也被利用來解決最速降線問題 在1690年 伯努利用微積分推導出了最速降線問題的解亦為擺線 不久以後 拉格朗日與歐拉也運用了解析法解出了等時降落問題 解析 编辑將質點放在一曲線上 則質點下滑的時間與最低點和釋放點之間的長度無關 簡諧運動也具有類似的性質 如果一個質點只受到一個定點方向 與兩點間距離成正比的力作用 則此物體自由釋放後將會做簡諧運動 且無論釋放點的位置 此質點作簡諧運動的週期皆相同 故我們可以假設在等時降線上運動的物體與作簡諧運動的物體有相似的行為 即d 2 s d t 2 k 2 s displaystyle frac mathrm d 2 s mathrm d t 2 k 2 s 其中s displaystyle s 為最低點與質點之間的弧長 假定釋放時t 0 displaystyle t 0 我們可解得s s 0 cos k t displaystyle s s 0 cos kt s 0 displaystyle s 0 為最低點與釋放點間的弧長 而在最低點時s 0 displaystyle s 0 故下滑所需的時間有k T 0 p 2 T 0 p 2 k displaystyle kT 0 frac pi 2 T 0 frac pi 2k 又一沿斜面自由下滑的物體 其加速度為d 2 s d t 2 g sin 8 displaystyle frac mathrm d 2 s mathrm d t 2 g sin theta 其中8 displaystyle theta 為曲線上的切線與水平面之間的夾角 綜合上述得k 2 s g sin 8 displaystyle k 2 s g sin theta 所以s displaystyle s 對8 displaystyle theta 的變化率有k 2 d s d 8 g cos 8 displaystyle k 2 frac mathrm d s mathrm d theta g cos theta d s g k 2 cos 8 d 8 displaystyle mathrm d s frac g k 2 cos theta mathrm d theta 所以 d x cos 8 d s g k 2 cos 2 8 d 8 g 2 k 2 1 cos 2 8 d 8 displaystyle mathrm d x cos theta mathrm d s frac g k 2 cos 2 theta mathrm d theta frac g 2k 2 left 1 cos 2 theta right mathrm d theta x g 2 k 2 1 cos 2 8 d 8 g 4 k 2 2 8 sin 2 8 x 0 displaystyle x int frac g 2k 2 left 1 cos 2 theta right mathrm d theta frac g 4k 2 left 2 theta sin 2 theta right x 0 以及 d y sin 8 d s g k 2 sin 8 cos 8 d 8 g 2 k 2 sin 2 8 d 8 displaystyle mathrm d y sin theta mathrm d s frac g k 2 sin theta cos theta mathrm d theta frac g 2k 2 sin 2 theta mathrm d theta y g 2 k 2 sin 2 8 d 8 g 4 k 2 cos 2 8 y 0 displaystyle y int frac g 2k 2 sin 2 theta mathrm d theta frac g 4k 2 cos 2 theta y 0 設定ϕ 2 8 displaystyle phi 2 theta 以及r g 4 k 2 displaystyle r cfrac g 4k 2 並選定適當的坐標系原點 得x r ϕ sin ϕ displaystyle x r left phi sin phi right y r 1 cos ϕ displaystyle y r left 1 cos phi right 此方程式為一標準的擺線方程式 且繞轉圓的半徑為g 4 k 2 displaystyle cfrac g 4k 2 反過來說 k g 4 r 1 2 g r displaystyle k sqrt frac g 4r frac 1 2 sqrt frac g r 所以下滑所需的時間為T 0 p 2 k p r g displaystyle T 0 frac pi 2k pi sqrt frac r g 阿貝爾力學問題 编辑在廣義等時降線問題中 物體的運動時間不必固定 而是初始釋放位置y 0 displaystyle y 0 的函數T y 0 displaystyle T left y 0 right 阿貝爾力學問題思考 在T y 0 displaystyle T left y 0 right 已知的情況下 如何找出曲線的方程式 等時降線問題是此運動時間為常數的特殊情況 因物體在無摩擦的軌道上滑行 故力學能守恆 其力學能具有以下表達式 m g y 0 1 2 m v 2 m g y displaystyle mgy 0 frac 1 2 mv 2 mgy 式中等號左側為物體的初力學能 m g y displaystyle mgy 為物體的重力位能 1 2 m v 2 displaystyle cfrac 1 2 mv 2 為物體的動能 左式中缺少此項是因為物體起初靜止 又因物體沿曲線下滑 v d s d t displaystyle v frac mathrm d s mathrm d t s displaystyle s 為曲線的弧長 整理以上所得 d s d t 2 g y 0 y displaystyle frac mathrm d s mathrm d t pm sqrt 2g left y 0 y right d t d s 2 g y 0 y 1 2 g y 0 y d s d y d y displaystyle mathrm d t pm frac mathrm d s sqrt 2g left y 0 y right pm frac 1 sqrt 2g left y 0 y right frac mathrm d s mathrm d y mathrm d y 這裡的s displaystyle s 設定為物體距離滑行終點的路徑長 考慮到此路徑長必然隨著時間的推進縮短 等號右側應取負值 d t 1 2 g y 0 y d s d y d y displaystyle mathrm d t frac 1 sqrt 2g left y 0 y right frac mathrm d s mathrm d y mathrm d y 下滑時間是d t displaystyle mathrm d t 自y y 0 displaystyle y y 0 起始高度 至y 0 displaystyle y 0 末高度 的積分 T y 0 y y 0 y 0 d t 1 2 g 0 y 0 1 y 0 y d s d y d y displaystyle T left y 0 right int y y 0 y 0 mathrm d t frac 1 sqrt 2g int 0 y 0 frac 1 sqrt y 0 y frac mathrm d s mathrm d y mathrm d y 此關係式稱為阿貝爾積分式 並且在給定d s d y displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y 的情況下很容易求出積分值 但根據題目設定 必須從積分值求出d s d y displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y 這裡注意到等號右側中的積分式實際上為d s d y displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y 與1 y displaystyle cfrac 1 sqrt y 的摺積 可將等式兩側同做拉普拉斯變換成為L T y 0 L 1 y L d s d y displaystyle mathcal L left T left y 0 right right mathcal L left frac 1 sqrt y right mathcal L left frac mathrm d s mathrm d y right 因為L 1 y p z 1 2 displaystyle mathcal L left cfrac 1 sqrt y right sqrt pi z frac 1 2 我們得到了d s d y displaystyle cfrac mathrm d s mathrm d y 與T y 0 displaystyle T left y 0 right 兩者拉普拉斯變換後的關係式 L d s d y 2 g p z 1 2 L T y 0 displaystyle mathcal L left frac mathrm d s mathrm d y right sqrt frac 2g pi z frac 1 2 mathcal L left T left y 0 right right 以上即是未指定T y 0 displaystyle T left y 0 right 時可以得到最後的結果 對於等時降線問題 T y 0 T 0 constant displaystyle T left y 0 right T 0 operatorname constant 因此其拉普拉斯變換為L T 0 T 0 L 1 1 z T 0 displaystyle mathcal L left T 0 right T 0 mathcal L left 1 right frac 1 z T 0 因而L d s d y 2 g p z 1 2 L T 0 2 g p T 0 z 1 2 displaystyle mathcal L left frac mathrm d s mathrm d y right sqrt frac 2g pi z frac 1 2 mathcal L left T 0 right sqrt frac 2g pi T 0 z frac 1 2 將此式做逆變換即可得d s d y 2 g p T 0 y 1 2 displaystyle frac mathrm d s mathrm d y frac sqrt 2g pi T 0 y frac 1 2 d s 2 g p T 0 y 1 2 d y displaystyle mathrm d s frac sqrt 2g pi T 0 y frac 1 2 mathrm d y 又d y sin 8 d s displaystyle mathrm d y sin theta mathrm d s 易得y 1 2 2 g p T 0 sin 8 displaystyle y frac 1 2 frac sqrt 2g pi T 0 sin theta 將等號兩側取微小量 d y 1 2 1 2 y 1 2 d y 2 g p T 0 cos 8 d 8 displaystyle mathrm d left y frac 1 2 right frac 1 2 y frac 1 2 mathrm d y frac sqrt 2g pi T 0 cos theta mathrm d theta 代回上方d s displaystyle mathrm d s 與y 1 2 d y displaystyle y frac 1 2 mathrm d y 的關係式中 得d s 4 g 2 p 2 T 0 2 cos 8 d 8 displaystyle mathrm d s frac 4g 2 pi 2 T 0 2 cos theta mathrm d theta 此式與解析解中得出形式相同的結果 故其解亦為擺線 回顧解析解的結果 d s g k 2 T 0 2 cos 8 d 8 displaystyle mathrm d s frac g k 2 T 0 2 cos theta mathrm d theta 相互比較得T 0 2 p 2 4 k 2 g displaystyle T 0 2 cfrac pi 2 4k 2 g 又擺線的繞轉圓半徑r g 4 k 2 displaystyle r cfrac g 4k 2 最後我們得到T 0 p r g displaystyle T 0 pi sqrt frac r g 參見 编辑擺線 最速降線問題 簡諧振子參考 编辑Tautochrone Problem From Wolfram MathWorld 2014 08 07 原始内容存档于2021 02 11 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 等時降線 amp oldid 70801492, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,