愛因斯坦-嘉當理論

愛因斯坦-嘉當理論（英語：Einstein-Cartan theory）是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當（Élie Cartan)為名。

作為古典物理中的主要理論，廣義相對論卻有一個缺點：其無法描述「自旋軌道耦合」（spin-orbit coupling），亦即內稟角動量（intrinsic angular momentum）（自旋）與軌道角動量（orbital angular momentum）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：當物體具有自旋性質時，廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。

實驗上的效應由於太小，目前尚無法觀測得到。

歷史

自从爱因斯坦将牛顿引力理论推广为广义相对论（爱因斯坦引力理论）以来，爱因斯坦引力理论经受了严格的实验检验，取得了巨大的成功。随着实验观察数据的积累，爱因斯坦引力理论遇到了许多困难。Ia型超新星观察数据表明宇宙是加速膨胀的，为了在爱因斯坦引力理论中说明宇宙的加速膨胀现象，必须引入具有负压的暗能量，而暗能量的观察密度却与量子场论的估计值相差 倍。用光度资料测得的星系质量无法说明星系旋转曲线，为了在爱因斯坦引力理论（牛顿引力理论）中说明此现象，必须引入占星系质量为96%的暗物质，暗物质在星系中的分布情况却难以用现有的物理理论说明。美国的先锋号宇宙飞船在远离太阳时受到了无法用爱因斯坦引力理论（牛顿引力理论）及其它物理效应说明的指向太阳的微小引力，后来物理学家仔细研究了其它宇宙飞船也发现了不能用爱因斯坦引力理论（牛顿引力理论）及其它物理效应说明的微小作用力^{[來源請求]}，这种宇宙飞船轨道异常现象强烈的表明：爱因斯坦引力理论具有缺陷。

利用标准的正则量子化方法和路径积分方法将爱因斯坦引力理论进行量子化導致不能重整化的结果，这宣告了爱因斯坦引力理论的标准量子化的失败。虽然圈量子化方法取得了一定的成果，但圈量子化是否具有爱因斯坦引力理论极限却没有证明。粒子物理学的理论也取得了一定成果，但仍未得到一个可重整化的量子引力理论。爱因斯坦引力理论的量子化困难提示我们：爱因斯坦引力理论可能存在缺陷。

为了清晰的描述爱因斯坦引力理论的物理图像，我们需要用正交标架场来改写爱因斯坦引力理论。

当将爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论作比较研究时，我们发现：爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论不相容。由于狄拉克电子理论的实验检验精度远大于爱因斯坦引力理论的实验检验精度，因此我们有理由认为：爱因斯坦引力理论具有缺陷。

通过将爱因斯坦引力理论推广为有挠时空中的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论，我们可以消除爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。因此可以认为愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论是比爱因斯坦引力理论更加接近真理的引力理论。利用愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论可以在不引入暗能量的情形下解释飞船轨道异常和宇宙加速膨胀，也可以说明星系暗物质的分布情况。愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论预言：磁化物质之间除了有磁场作用力外还应存在附加的自旋-自旋作用力。

動機

廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何，而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中，里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）${\displaystyle R_{ab}}$ 必須是a與b對稱的（亦即，${\displaystyle R_{ab}=R_{ba}}$ ）。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)${\displaystyle G_{ab}}$ 定義為

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$ 

也必須是對稱的。在廣義相對論中，愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型，且其（透過重力常數的聯繫）等同於應力-能量張量或能量-動量張量${\displaystyle P_{ab}}$ （此處我們將能量-動量張量表示為P，是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。）愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而，當自旋與軌道角動量進行交換時，根據角動量守恆的廣義式，則知動量張量為不對稱的。

自旋流（英语：spin current）(spin current)之散度——${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0}$ 

細節請參考自旋張量（英语：spin tensor）(spin tensor)條目。

因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。

於1922年，埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象，愛因斯坦–嘉當理論則相當重要，因為

(1) 其顯示出仿射理論，而非度規理論，對於重力能提供更好的描述；

(2) 其解釋仿射扭率的意義，在一些量子重力理論中自然出現；

(3) 其將自旋詮釋為仿射扭率，在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。

將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。

幾何與表示式

時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry)，其中我們賦予n維微分流形M 一項沿著M上路徑對向量作平行移動的定律。（一微分流形的每個點，我們都有切向量所組成的一個線性空間，不過我們無法將向量移動到其他點，或是去比較M上位於不同兩點上的向量。）平行移動保存了向量間的線性關係；也就是說，若兩向量 ${\displaystyle {\vec {u}}}$  與 ${\displaystyle {\vec {v}}}$  在M上同一點，沿著一曲線被平行移動成為向量 ${\displaystyle {\vec {u}}^{\prime }}$  與 ${\displaystyle {\vec {v}}^{\prime }}$ ，則兩者的線性組合

${\displaystyle a{\vec {u}}}$  + ${\displaystyle b{\vec {v}}}$ 

也平行移動為

${\displaystyle a{\vec {u}}^{\prime }}$  + ${\displaystyle b{\vec {v}}^{\prime }}$ 。

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的；也就是說，如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量，在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響，而曲率在微分幾何中是個中心概念。

愛因斯坦-嘉當引力理论简介

用标架场重写愛因斯坦引力理论

用标架场${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )}}$  代替度规场${\displaystyle {{g}_{\mu \nu }}}$  ，我们可以得到用标架场${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )}}$  （仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换）表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为：

• （1）引力场运动方程第一形式：${\displaystyle {\frac {D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}}$ 
• （2）引力场运动方程第二形式：${\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R+{\frac {1}{2}}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }{\frac {DK_{}^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu }\right)}$ 

其中：

${\displaystyle {{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}&{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_{}^{(\alpha )\mu \nu }\\&Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\&K_{}^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{}{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^{}\left({{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }}\right)-2\beta _{3}^{}\left({{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }}\right)\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle P_{g}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{m}^{(\alpha )\mu }=-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({{L}_{m}}{\sqrt {-g}}\right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}=-{\frac {\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\\&\\\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle P_{gk}^{(\alpha )\mu }={\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}\left(-{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+{\frac {1}{4}}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu }\right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}}$ 

当 ${\displaystyle {{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}<<1}$ 时，由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程： ${\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}P_{m}^{\nu \mu }}$ 

愛因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾

考虑电子与引力的作用时，我们需要引入标架仿射联络${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}}$  。在黎曼时空中，存在关系式：${\displaystyle {{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma }}_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0}$  ，标架场与标架仿射联络不独立。 因此，黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为：

(1)电子场运动方程：

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0\\&i\hbar {{D}_{\mu }}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.}$ 

(2)电磁场运动方程：

${\displaystyle {{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }}$ 

(3)引力场运动方程：

${\displaystyle {{R}^{\mu \nu }}-{\frac {1}{2}}{{g}^{\mu \nu }}R={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-{\frac {1}{2}}D_{\sigma }^{}{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu }\right)}$ 

根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

${\displaystyle {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+{\frac {1}{2}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }}$ 

根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为：

${\displaystyle {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-{\frac {1}{4}}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }}$ 

上述结果表明，从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

有挠时空引力理论（愛因斯坦-嘉當理论）

在有挠时空中，标架场 ${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )}}$ 与标架仿射联络${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}}$  是独立的，标架场${\displaystyle \lambda _{\mu }^{(\alpha )}}$  描述时空的弯曲，标架仿射联络${\displaystyle {\hat {\Gamma }}_{(\beta )\mu }^{(\alpha )}}$  描述时空的扭曲，并且有：

${\displaystyle {{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+{\hat {\Gamma }}_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\neq 0}$ 

有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场，因此简化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场的运动方程：

(1)电子场运动方程：

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^{}\psi +i\hbar D_{\mu }^{}({{\gamma }^{\mu }}\psi )\right)-mc\psi =0\\&{\frac {1}{2}}\left(i\hbar D_{\mu }^{}{\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^{}({\bar {\psi }}{{\gamma }^{\mu }})\right)+mc{\bar {\psi }}=0\\\end{aligned}}\right.}$ 

(2)电磁场运动方程：

${\displaystyle D_{\nu }^{}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }}$ 

(3)自旋场运动方程：

${\displaystyle D_{\nu }^{}{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}={\frac {8\pi \kappa }{{c}^{4}}}\left(s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu }\right)}$ 

(4)引力场运动方程：

a. 第一形式：

${\displaystyle D_{\nu }^{}{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {16\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-{\frac {{c}^{4}}{16\pi G}}{\bar {\beta }}\left(2{{\hat {R}}^{\mu (\alpha )}}-{\hat {R}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }}\right)\right)}$ 

b. 第二形式：

${\displaystyle {\bar {\beta }}\left(R_{\nu }^{\mu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\nu }^{\mu }R\right)\lambda _{}^{(\alpha )\nu }+{\frac {1}{2}}\beta D_{\nu }^{}{{\bar {K}}^{(\alpha )\mu \nu }}={\frac {8\pi G}{{c}^{4}}}\left(P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu }\right)}$ 

可以证明上述运动方程是相容的，因此有挠时空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

应用

• 解释宇宙加速膨胀
• 解释先锋异常
• 解释星系转动曲线
• 预言带电物体周围的引力异常
• 预言日月食的引力异常

參見

• ECT理论-牛顿引力理论

参考文献

• Tang, Feilin. The New Vierbein Form of Gravitational Equations and Localized Energy-Momentum Tensors of Gravitational Field. Frontier Science. 2010, (04): 47–65. ISSN 1673-8128 （中文）. 

• Tang, Feilin. Contradiction Between Einstein Gravitational Theory and Dirac Electron Theory in Riemann Space-Time. Frontier Science. 2011, (03): 56–68. ISSN 1673-8128. 

• Tang, Feilin. A Localized Lorentz Gauge Invariant Gravitational Theory In Space-Time With Torsion. Frontier Science. 2012, 6 (01): 65–87. ISSN 1673-8128. （原始内容于2016-01-11） （英语）. 
• Will, C.M. . Living Rev. Relativity. 2009. （原始内容存档于2019-12-10） （英语）.