形式幂级数, formal, power, series, 是一个数学中的抽象概念, 是从幂级数中抽离出来的代数对象, 和从多项式中剥离出来的多项式环类似, 不过允许, 可数, 无穷多项因子相加, 但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值, 在代数和组合理论中有广泛应用, 目录, 简介, 的环结构, 定义, 环结构, 拓扑结构, 参考来源简介, 编辑和多项式的形式定义有类似之处, 对于熟悉幂级数的读者, 也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性, 也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象, 而不是任何具体数值. 形式幂级数 formal power series 是一个数学中的抽象概念 是从幂级数中抽离出来的代数对象 形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似 不过允许 可数 无穷多项因子相加 但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值 形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用 目录 1 简介 2 形式幂级数的环结构 2 1 定义 2 1 1 环结构 2 1 2 拓扑结构 3 参考来源简介 编辑形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处 对于熟悉幂级数的读者 也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性 也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象 而不是任何具体数值的时候写出的幂级数 举例来说 以下的级数式子 A 1 3 X 5 X 2 7 X 3 9 X 4 11 X 5 displaystyle A 1 3X 5X 2 7X 3 9X 4 11X 5 cdots 如果我们把它当成幂级数来研究的话 重点会放在它的收敛半径等于1 其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等 但作为形式幂级数来研究时 我们关注的是它本身的结构 我们甚至可以把它简写为 1 3 5 7 9 displaystyle 1 3 5 7 9 cdots 这样 只关注它的系数 我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数 比如说系数为阶乘的形式幂级数 1 1 2 6 24 120 displaystyle 1 1 2 6 24 120 cdots 即使说它对应的幂级数 A 1 X 2 X 2 6 X 3 24 X 4 120 X 5 displaystyle A 1 X 2X 2 6X 3 24X 4 120X 5 cdots 在X displaystyle X 取任何的非零实数值时都不收敛 我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算 和多项式环中的元素一样 形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算 具体的计算方式和多项式环一样 比如说设 B 2 X 4 X 3 6 X 5 8 X 7 displaystyle B 2X 4X 3 6X 5 8X 7 cdots 那么A displaystyle A 与B displaystyle B 的和就是 A B 1 3 X 2 X 2 10 X 3 24 X 4 126 X 5 displaystyle A B 1 3X 2X 2 10X 3 24X 4 126X 5 cdots A B 2 X 6 X 2 14 X 3 26 X 4 44 X 5 displaystyle AB 2X 6X 2 14X 3 26X 4 44X 5 cdots 其中A B displaystyle A B 里面X 3 displaystyle X 3 的系数就是A displaystyle A 与B displaystyle B 中X 3 displaystyle X 3 的系数的和 A B displaystyle AB 里面X 5 displaystyle X 5 的系数就是A displaystyle A 与B displaystyle B 中X displaystyle X 的阶数相加等于5的项的系数乘积的和 44 X 5 1 6 X 5 5 X 2 4 X 3 9 X 4 2 X displaystyle 44X 5 1 times 6X 5 5X 2 times 4X 3 9X 4 times 2X 对每个确定的阶数n displaystyle n 这个计算是有限项 至多n 1 displaystyle n 1 项 的相加 所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候 不需要像在对幂级数进行计算时一样 考虑诸如是否绝对收敛 条件收敛或是一致收敛的问题 另外 如多项式的形式运算一样 形式幂级数也满足加法的交换律 加法的结合律 乘法的交换律 乘法的结合律以及乘法对加法的分配律 形式幂级数不仅能够定义乘法 也能定义乘法逆的运算 一个形式幂级数A displaystyle A 的逆是指另一个形式幂级数C displaystyle C 使得A C 1 displaystyle AC 1 如果这样的形式幂级数C displaystyle C 存在 就是唯一的 将其记为A 1 displaystyle A 1 同时我们也可以定义形式幂级数的除法 当A displaystyle A 的逆存在时 B A B A 1 displaystyle B A B cdot A 1 比如说 可以很容易验证 1 1 X 1 X X 2 X 3 X 4 X 5 displaystyle frac 1 1 X 1 X X 2 X 3 X 4 X 5 cdots 形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作 将一个形式幂级数映射到它的X n displaystyle X n 的系数 这个操作常常记作 X n displaystyle X n 比如说对形式幂级数A 1 3 X 5 X 2 7 X 3 9 X 4 11 X 5 displaystyle A 1 3X 5X 2 7X 3 9X 4 11X 5 cdots 就有 X 5 A 11 displaystyle X 5 A 11 对以上定义的形式幂级数B displaystyle B 也有 X 3 B 4 displaystyle X 3 B 4 又比如 X 2 X 3 X 2 Y 3 10 Y 6 3 Y 3 displaystyle X 2 X 3X 2 Y 3 10Y 6 3Y 3 X 2 Y 3 X 3 X 2 Y 3 10 Y 6 3 displaystyle X 2 Y 3 X 3X 2 Y 3 10Y 6 3 提取映射和多项式环中的对应映射一样 都可以看做是到一个子空间的投影映射 形式幂级数的环结构 编辑所有的不定元为X displaystyle X 系数为某一个交换环R displaystyle R 上元素的形式幂级数构成一个环 称为R displaystyle R 上变量为X displaystyle X 的形式幂级数环 记作R X displaystyle R X 定义 编辑 R X displaystyle R X 可以定义为R displaystyle R 上变量为X displaystyle X 的多项式环完备化 对于特定的度量 后得到的 这个定义自然就赋予了R X displaystyle R X 以拓扑环的结构 同时也赋予了完备度量空间的结构 不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐 而建构R X displaystyle R X 所需要的并没有那么多 以下将对R X displaystyle R X 的环结构和拓扑结构分别定义 更为明晰 容易理解 环结构 编辑 首先可以定义集合R X displaystyle R X 的范围 作为一个集合 R X displaystyle R X 可以用和R N displaystyle R mathbb N 一样的方法构造 R N displaystyle R mathbb N 是所有R displaystyle R 上元素构成的数列 a n n N displaystyle a n n in mathbb N 的集合 R N a n n N n N a n R displaystyle R mathbb N a n n in mathbb N forall n in mathbb N a n in R R N displaystyle R mathbb N 中的元素可以定义加法和乘法 a n n N b n n N a n b n n N displaystyle a n n in mathbb N b n n in mathbb N left a n b n right n in mathbb N a n n N b n n N k 0 n a k b n k n N displaystyle a n n in mathbb N times b n n in mathbb N left sum k 0 n a k b n k right n in mathbb N 其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积 也是一种卷积 可以证明 在以上的定义下 R N displaystyle R mathbb N 是一个交换环 环的加法零元是 0 0 0 displaystyle 0 0 0 乘法幺元是 1 0 0 displaystyle 1 0 0 于是我们可以将R displaystyle R 中的元素嵌入到R N displaystyle R mathbb N 之中 x R x 0 0 displaystyle x in R mapsto x 0 0 并将 0 1 0 0 displaystyle 0 1 0 0 映射到不定元X displaystyle X 这样通过以上定义的加法和乘法就可以将R N displaystyle R mathbb N 中的有限非零元元素同构为 a 0 a 1 a 2 a n 0 0 a 0 a 1 X a n X n i 0 n a i X i displaystyle a 0 a 1 a 2 ldots a n 0 0 ldots mapsto a 0 a 1 X cdots a n X n sum i 0 n a i X i 这样的结构和多项式环是一样的 所以对于更一般的R N displaystyle R mathbb N 中元素 a n n N displaystyle a n n in mathbb N 就可以自然地希望将其对应到 i N a i X i displaystyle sum i in mathbb N a i X i 但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到 所以需要用一个约定上的映射f R N R X displaystyle varphi R mathbb N rightarrow R X 来做到 a 0 a 1 a 2 a n f a 0 a 1 a 2 a n a 0 a 1 X a n X n i N a i X i displaystyle a 0 a 1 a 2 ldots a n ldots mapsto varphi a 0 a 1 a 2 ldots a n ldots a 0 a 1 X cdots a n X n cdots sum i in mathbb N a i X i 这个映射涵盖了之前的多项式的定义 并且可以定义 i N a i X i i N b i X i n N a n b n X n displaystyle left sum i in mathbb N a i X i right left sum i in mathbb N b i X i right sum n in mathbb N left a n b n right X n 以及 i N a i X i i N b i X i n N k 0 n a k b n k X n displaystyle left sum i in mathbb N a i X i right times left sum i in mathbb N b i X i right sum n in mathbb N left sum k 0 n a k b n k right X n 这个定义使得f displaystyle varphi 是一个同态 所以R X displaystyle R X 也是一个交换环 拓扑结构 编辑 以上的定义中建立了映射 f a 0 a 1 a 2 a 3 i 0 a i X i 1 displaystyle varphi a 0 a 1 a 2 a 3 ldots sum i 0 infty a i X i qquad 1 但需要注意的是这里的定义中 i 0 a i X i displaystyle sum i 0 infty a i X i 还是一个符号性的对象 因为我们并没有定义其中无限求和号的意义 为了更好地定义 i 0 a i X i displaystyle sum i 0 infty a i X i 本身 我们需要引入拓扑的结构 将其作为极限来严格地说明 需要注意的是 适合的拓扑结构不止一个 我们可以在R displaystyle R 上定义离散拓扑的结构 然后将R N displaystyle R mathbb N 作为可数个R displaystyle R 的积空间 将其上的拓扑定义为积拓扑 我们也可以直接在R N displaystyle R mathbb N 上定义类似于p进数拓扑的I displaystyle I 进拓扑 其中的I X displaystyle I X 是环结构中由X displaystyle X 生成的理想 也就是由所有 i 1 a i X i displaystyle sum i 1 infty a i X i 形式的形式幂级数构成的集合 对不熟悉一般的点集拓扑学的读者 也可以建立一个具体的度量 也就是定义 距离 来定义拓扑 比如定义两个数列a a n n N displaystyle a a n n in mathbb N 和b b n n N displaystyle b b n n in mathbb N 的距离 d a b 2 w a b a b 0 0 a b 0 displaystyle d a b begin cases 2 omega a b amp quad a b neq 0 0 amp quad a b 0 end cases 其中w s displaystyle omega s 表示数列s s n n N displaystyle s s n n in mathbb N 中第一个不等于0的系数的下标 这样的定义之下 我们说两个数列如果越来越 接近 那么第一个系数不同的地方会出现的越晚 也就是说它们的距离也越小 对一个数列a a n n N displaystyle a a n n in mathbb N 定义部分和数列为 s k a 0 a 1 a k 0 0 displaystyle s k a 0 a 1 ldots a k 0 0 ldots 那么部分和s k displaystyle s k 和a displaystyle a 的距离就会是2 k 1 displaystyle 2 k 1 所以k displaystyle k 趋于无穷大的时候 部分和数列和a displaystyle a 的距离趋于0 这样 在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后 就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限 a 0 a 1 a 2 a 3 lim k s k displaystyle a 0 a 1 a 2 a 3 ldots lim k to infty s k 然后对形式幂级数也定义类似的距离 d i 0 a i X i i 0 b i X i 2 w w min n a n b n a n b n 0 n a n b n displaystyle d sum i 0 infty a i X i sum i 0 infty b i X i begin cases 2 omega omega min n a n neq b n amp quad exists a n neq b n 0 amp quad forall n a n b n end cases 然后形式幂级数也就满足 i 0 a i X i f a 0 a 1 a 2 a 3 lim k f s k lim k i 0 k a i X i displaystyle sum i 0 infty a i X i varphi a 0 a 1 a 2 a 3 ldots lim k to infty varphi s k lim k to infty sum i 0 k a i X i 并且可以验证加法 乘法的交换律和结合律 以及乘法对加法的分配律 于是我们定义出了一个同构于R N displaystyle R mathbb N 的拓扑环 将其称为R displaystyle R 上的形式幂级数环R X displaystyle R X 参考来源 编辑Nicolas Bourbaki Algebra IV 4 Springer Verlag 1988 取自 https zh wikipedia org w index php title 形式幂级数 amp oldid 67074920, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,