双射

數學中，一個由集合${\displaystyle X}$映射至集合${\displaystyle Y}$的函數，若對每一在${\displaystyle Y}$內的${\displaystyle y}$，存在唯一一個在${\displaystyle X}$內的${\displaystyle x}$与其对应，且對每一在${\displaystyle X}$內的${\displaystyle x}$，存在唯一一個在${\displaystyle Y}$內的${\displaystyle y}$与其对应，則此函數為對射函數。

一个双射函数

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则${\displaystyle f}$是雙射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$至${\displaystyle \mathbb {Z} }$的函數${\displaystyle \operatorname {succ} }$，其將每一個整數${\displaystyle x}$連結至整數${\displaystyle \operatorname {succ} (x)=x+1}$，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數${\displaystyle \operatorname {sumdif} }$，其將每一對實數${\displaystyle (x,y)}$連結至${\displaystyle \operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)}$，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射（英語：bijection）或置換。後者一般較常使用在${\displaystyle X=Y}$時。以由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的所有雙射組成的集合標記為${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$。

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數${\displaystyle f}$ 為雙射的若且唯若其逆關係${\displaystyle f^{-1}}$ 也是個函數。在這情況，${\displaystyle f^{-1}}$ 也會是雙射函數。

兩個雙射函數${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$ 及${\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z}$ 的複合函數${\displaystyle g\circ f}$ 亦為雙射函數。其反函數為${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$ 。

 

一个複合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若${\displaystyle g\circ f}$ 為雙射的，可知${\displaystyle f}$ 是單射的且${\displaystyle g}$ 是滿射的，但也僅限於此。

一由${\displaystyle X}$ 至${\displaystyle Y}$ 的關係${\displaystyle f}$ 為雙射函數若且唯若存在另一由${\displaystyle Y}$ 至${\displaystyle X}$ 的關係${\displaystyle g}$ ，使得${\displaystyle g\circ f}$ 為${\displaystyle X}$ 上的恆等函數，且${\displaystyle f\circ g}$ 為${\displaystyle Y}$ 上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢

若${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合${\displaystyle X}$ ，其恆等函數為雙射函數。
• 函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，其形式為${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ，是雙射的，因為對任一${\displaystyle y}$ ，存在一唯一${\displaystyle x=(y-1)/2}$ 使得${\displaystyle f(x)=y}$ 。
• 指數函數${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ，其形式為${\displaystyle g(x)=e^{x}}$ ，不是雙射的：因為不存在一${\displaystyle \mathbb {R} }$ 內的${\displaystyle x}$ 使得${\displaystyle g(x)=-1}$ ，故${\displaystyle g}$ 非為雙射。但若其陪域改成正實數${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )}$ ，則${\displaystyle g}$ 便是雙射的了；其反函數為自然對數函數${\displaystyle \ln }$ 。
• 函數${\displaystyle h}$  : ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )}$ ，其形式為${\displaystyle h(x)=x^{2}}$ ，不是雙射的：因為${\displaystyle h(-1)=h(1)=1}$ ，故${\displaystyle h}$ 非為雙射。但如果把定義域也改成${\displaystyle [0,+\infty )}$ ，則${\displaystyle h}$ 便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$ 不是雙射函數，因為${\displaystyle -1,0}$ 和${\displaystyle 1}$ 都在其定義域裡且都映射至${\displaystyle 0}$ 。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$ 不是雙射函數，因為${\displaystyle \pi /3}$ 和2${\displaystyle \pi /3}$ 都在其定義域裡且都映射至${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ 。

性質

• 一由實數${\displaystyle \mathbb {R} }$ 至${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的函數${\displaystyle f}$ 是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設${\displaystyle X}$ 為一集合，則由${\displaystyle X}$ 至其本身的雙射函數，加上其複合函數「${\displaystyle \circ }$ 」的運算，會形成一個群，即為${\displaystyle X}$ 的對稱群，其標記為${\displaystyle {\mathfrak {S}}(X)}$ 、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$ 或${\displaystyle X!}$ 。
• 取一定義域的子集${\displaystyle A}$ 及一陪域的子集${\displaystyle B}$ ，則

${\displaystyle |f(A)|=|A|}$ 且${\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}$ 。

• 若${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 為具相同勢的有限集合，且${\displaystyle f:X\to Y}$ ，則下列三種說法是等價的：

1. ${\displaystyle f}$ 為一雙射函數。
2. ${\displaystyle f}$ 為一滿射函數。
3. ${\displaystyle f}$ 為一單射函數。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如${\displaystyle y=x^{-3}}$ ）。

雙射與範疇論

形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見

• 等势
• 單射
• 同構
• 置換
• 對稱群
• 满射
• 雙射計數法
• 水平线测试

參考文獻

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外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：Bijectivity

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• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）