孤立奇点, 假设x是一个代数簇, x是x上的一个奇点, 如果存在一个包含p的开邻域, 又称开集, 使得u中不在包含其他的奇点, 那么就称p是, 在亚纯函数中, 所有奇点都是孤立的, 但如果一个函数的所有奇点都是孤立的, 并不能保证它是亚纯函数, 复分析中许多有用的工具, 例如洛朗展开, 留数定理等, 都需要保证相关奇点的孤立性才能应用, 分为三种, 可去奇点, 极点, 本性奇点目录, 例子, 复分析中与洛朗展开的关系, 可去奇点, 极点, 本性奇点的定义, 洛朗级数的主要部分, 可去奇点, 极点, 本性奇点与洛朗级. 假设X是一个代数簇 P X是X上的一个奇点 如果存在一个包含P的开邻域 又称开集 U 使得U中不在包含其他的奇点 那么就称P是孤立奇点 在亚纯函数中 所有奇点都是孤立的 但如果一个函数的所有奇点都是孤立的 并不能保证它是亚纯函数 复分析中许多有用的工具 例如洛朗展开 留数定理等 都需要保证相关奇点的孤立性才能应用 孤立奇点分为三种 可去奇点 极点 本性奇点目录 1 例子 2 复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系 2 1 可去奇点 极点 本性奇点的定义 2 2 洛朗级数的主要部分 2 3 可去奇点 极点 本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系 2 4 证明 2 5 相关例子与应用 3 参见 4 外部链接例子 编辑函数1 z displaystyle frac 1 z 在z 0 displaystyle z 0 处有孤立奇点 余割函数csc p z displaystyle csc pi z 在所有整数点处有孤立奇点 函数exp 1 z displaystyle exp frac 1 z 在z 0 displaystyle z 0 处有孤立奇点 这是一个本质奇点 复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系 编辑可去奇点 极点 本性奇点的定义 编辑 三种孤立奇点有许多等价定义 以下列出部分 用以说明与洛朗级数的关系 一个孤立奇点a displaystyle a 被称作可去奇点 如果lim z a lt displaystyle lim z rightarrow a lt infty 一个孤立奇点a displaystyle a 被称作极点 如果lim z a displaystyle lim z rightarrow a infty 一个孤立奇点a displaystyle a 被称作本性奇点 又译作本质奇点 如果极限lim z a displaystyle lim z rightarrow a 不存在 洛朗级数的主要部分 编辑 复函数f z displaystyle f z 在一个以点c displaystyle c 为圆心的解析的环形区域D displaystyle D 上可以展开成这样的级数形式 f z n a n z c n displaystyle f z sum n infty infty a n z c n 其中 a n displaystyle a n 具有这样的形式 a n 1 2 p i g f z d z z c n 1 displaystyle a n frac 1 2 pi i oint gamma frac f z dz z c n 1 积分路径g是一条逆时针方向的可求长曲线 把c包围起来 位于圆环A内 此时 f z displaystyle f z 的洛朗展开式中 指数为负数的部分 n 1 a n z c n displaystyle sum n infty 1 a n z c n 称作f z displaystyle f z 的主要部分 principal part 可去奇点 极点 本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系 编辑 以下可以看作可去奇点 极点 本性奇点又一等价定义 假设a displaystyle a 是复函数f z displaystyle f z 的一个可去奇点 则f z displaystyle f z 在a displaystyle a 处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分 假设a displaystyle a 是复函数f z displaystyle f z 的一个极点 则f z displaystyle f z 在a displaystyle a 处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项 且主要部分的项数恰等于极点a displaystyle a 的阶数 假设a displaystyle a 是复函数f z displaystyle f z 的一个本性奇点 则f z displaystyle f z 在a displaystyle a 处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项 证明 编辑 相关例子与应用 编辑参见 编辑非孤立奇点外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Singularity MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 孤立奇点 amp oldid 74432251, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,