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卢津定理

卢津(Лузин)定理实分析的定理。約略來說,這定理指可測函數差不多是連續函數

定理敘述 编辑

一維形式 编辑

 可測函數,對任何 ,都存在緊緻集 ,使得 ,而且f限制到E上是連續函數。此處 勒貝格測度

證明 编辑

因為f可測,所以在一個測度任意小的開集以外,f有界函數。在開集上重定義f為0,那麼f在[a,b]上有界,因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間 稠密,存在連續函數序列 L1範數收斂至f,即 。故此有子序列 幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知,除了一個測度任意小的開集外, 一致收斂f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的,故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集,那麼原本的fE上連續。

多維形式 编辑

  上的正則博雷爾測度  可測函數X 中的 可測集,而且 ,那麼對任意 X中存在緊緻集K,使得 ,而且f限制到K上是連續函數

參考 编辑

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.

卢津定理, 本條目有隱藏内容, 可能會损害讀者的閱覽体验, 請協助改善條目, 以符合维基百科标准, 2015年9月12日, 一般應該僅由特定標準化模板提供摺疊資料表格, 勿因故事劇情或項目混雜而隱藏, 內容應該考慮其他方式呈現, 重複記載, 過度細節與無助了解主題的堆砌內容等需要考慮除去, 卢津, Лузин, 定理是实分析的定理, 約略來說, 這定理指可測函數差不多是連續函數, 目录, 定理敘述, 一維形式, 證明, 多維形式, 參考定理敘述, 编辑一維形式, 编辑, 設f, displaystyle, math. 本條目有隱藏内容 可能會损害讀者的閱覽体验 請協助改善條目 以符合维基百科标准 2015年9月12日 一般應該僅由特定標準化模板提供摺疊資料表格 勿因故事劇情或項目混雜而隱藏 內容應該考慮其他方式呈現 重複記載 過度細節與無助了解主題的堆砌內容等需要考慮除去 卢津 Luzin 定理是实分析的定理 約略來說 這定理指可測函數差不多是連續函數 目录 1 定理敘述 1 1 一維形式 1 2 證明 1 3 多維形式 2 參考定理敘述 编辑一維形式 编辑 設f a b C displaystyle f a b to mathbb C nbsp 是可測函數 對任何ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 都存在緊緻集E a b displaystyle E subset a b nbsp 使得l a b E lt ϵ displaystyle lambda a b setminus E lt epsilon nbsp 而且f限制到E上是連續函數 此處l displaystyle lambda nbsp 是勒貝格測度 證明 编辑 因為f可測 所以在一個測度任意小的開集以外 f是有界函數 在開集上重定義f為0 那麼f在 a b 上有界 因而是可積函數 因為連續函數在可積函數的空間L 1 a b displaystyle mathrm L 1 a b nbsp 中稠密 存在連續函數序列g i displaystyle g i nbsp 依L1範數收斂至f 即 a b g i f 0 displaystyle int a b left g i f right to 0 nbsp 故此有子序列g i k displaystyle g i k nbsp 幾乎處處收斂至f 從葉戈羅夫定理可知 除了一個測度任意小的開集外 g i k displaystyle g i k nbsp 一致收斂至f 因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的 故此f在此開集外連續 取E為以上兩個開集的並集在 a b 中的補集 那麼原本的f在E上連續 多維形式 编辑 設m displaystyle mu nbsp 是R n displaystyle mathbb R n nbsp 上的正則博雷爾測度 f R n R m displaystyle f mathbb R n to mathbb R m nbsp 是m displaystyle mu nbsp 可測函數 X是R n displaystyle mathbb R n nbsp 中的m displaystyle mu nbsp 可測集 而且m X lt displaystyle mu X lt infty nbsp 那麼對任意ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp X中存在緊緻集K 使得m X K lt ϵ displaystyle mu X backslash K lt epsilon nbsp 而且f限制到K上是連續函數 證明首先 對每個正整數i 構造緊緻集K i displaystyle K i nbsp 和在其上的連續函數g i displaystyle g i nbsp 使得 m X K i lt ϵ 2 i displaystyle mu X setminus K i lt epsilon 2 i nbsp dd 且在K i displaystyle K i nbsp 上有 f x g i x lt 1 i displaystyle left f x g i x right lt 1 i nbsp dd 構造方法如下 將R m displaystyle mathbb R m nbsp 分成兩兩不交的博雷爾集 Y i j j 1 displaystyle Y ij j 1 infty nbsp 使得每個集的直徑都小於1 i 函數f可測 所以每個集的原像f 1 Y i j displaystyle f 1 Y ij nbsp 是可測集 令X i j X f 1 Y i j displaystyle X ij X cap f 1 Y ij nbsp 則X i j displaystyle X ij nbsp 將X分成兩兩不交的可測集 由於m displaystyle mu nbsp 是博雷爾正則測度 且m X lt displaystyle mu X lt infty nbsp 於是m displaystyle mu nbsp 限制到X上是拉東測度 由拉東測度的內正則性 在X i j displaystyle X ij nbsp 中存在緊緻子集K i j displaystyle K ij nbsp 使得 m X i j K i j lt ϵ 2 i j displaystyle mu X ij setminus K ij lt epsilon 2 i j nbsp dd 所以全部子集X i j K i j displaystyle X ij setminus K ij nbsp 的不交並集的測度 m X j 1 K i j lt ϵ 2 i displaystyle mu X setminus bigcap j 1 infty K ij lt epsilon 2 i nbsp dd 因為m X j 1 K i j lim n m X j 1 n K i j displaystyle mu X setminus bigcap j 1 infty K ij lim n to infty mu X setminus bigcap j 1 n K ij nbsp 可以取足夠大的N使得 m X j 1 N K i j lt ϵ 2 i displaystyle mu X setminus bigcap j 1 N K ij lt epsilon 2 i nbsp dd 令K i j 1 N K i j displaystyle K i bigcap j 1 N K ij nbsp 有限個緊緻集的並集是緊緻集 所以K i displaystyle K i nbsp 緊緻 因此K i displaystyle K i nbsp 滿足要求 對j 1 N 在Y i j displaystyle Y ij nbsp 中任取一點y i j displaystyle y ij nbsp 並在K i j displaystyle K ij nbsp 上定義g i x y i j displaystyle g i x y ij nbsp 因為在K i j displaystyle K ij nbsp 上 f的值包含在Y i j displaystyle Y ij nbsp 中 故此f和g i displaystyle g i nbsp 相差小於1 i 而K i j displaystyle K ij nbsp 是兩兩不交的緊緻集 故兩兩間的距離都是正數 所以g i displaystyle g i nbsp 在K i displaystyle K i nbsp 上是連續函數 因此g i displaystyle g i nbsp 滿足要求 取K i 1 K i displaystyle K bigcap i 1 infty K i nbsp K是緊緻集 並有 m X K i 1 m X K i lt ϵ displaystyle mu X setminus K leq sum i 1 infty mu X setminus K i lt epsilon nbsp dd 函數列g i displaystyle g i nbsp 在K上一致收斂到f 一致收斂保持函數的連續性 所以f在K上連續 參考 编辑Evans Lawrence C Gariepy Ronald F 1992 Measure theory and fine properties of functions CRC Press 取自 https zh wikipedia org w index php title 卢津定理 amp oldid 76678960, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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