古德曼函數, gudermannian, function, 是一個函數, 它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來, 目录, 性質, 反函數, 餘函數, 微分, 應用, 參考, 發現者的生平性質, 编辑, nbsp, 圖中的藍色橫線為漸近線y, displaystyle, scriptstyle, frac, nbsp, 的定義如下, cosh, arcsin, tanh, arctan, sinh, coth, cosh, arctan, arccot, arctan, tanh, displaystyle. 古德曼函數 Gudermannian function 是一個函數 它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來 目录 1 性質 2 反函數 3 餘函數 4 微分 5 應用 6 參考 7 發現者的生平性質 编辑 nbsp 古德曼函數 圖中的藍色橫線為漸近線y p 2 displaystyle scriptstyle y pm frac pi 2 nbsp 古德曼函數的定義如下 g d x 0 x d t cosh t lt x lt arcsin tanh x arctan sinh x a r c c s c coth x sgn x a r c c o s s e c h x sgn x a r c s e c cosh x 2 arctan e x p 2 p 2 2 arccot e x 2 arctan tanh x 2 a r c c o t c s c h x displaystyle begin aligned rm gd x amp int 0 x frac dt cosh t qquad infty lt x lt infty amp arcsin left tanh x right mbox arctan left sinh x right mathrm arccsc left coth x right amp mbox sgn x cdot mathrm arccos left mathrm sech x right mbox sgn x cdot mathrm arcsec left cosh x right amp 2 arctan e x frac pi 2 frac pi 2 2 operatorname arccot e x amp 2 arctan left tanh frac x 2 right amp mathrm arccot left mathrm csch x right end aligned nbsp g d x a r c c o t c s c h x displaystyle begin aligned rm gd x mathrm arccot left mathrm csch x right end aligned nbsp 僅在arccot的值域設為 p 2 p 2 displaystyle frac pi 2 frac pi 2 nbsp 時成立 參見反餘切 有以下恆等式 sin gd x tanh x cos gd x sech x tan gd x sinh x sec gd x cosh x cot gd x csch x csc gd x coth x tan gd x 2 tanh x 2 cot gd x 2 coth x 2 displaystyle begin aligned sin left mbox gd x right amp tanh x amp quad cos left mbox gd x right amp mbox sech x tan left mbox gd x right amp sinh x amp quad sec left mbox gd x right amp cosh x cot left mbox gd x right amp mbox csch x amp quad csc left mbox gd x right amp coth x tan left frac mbox gd x 2 right amp tanh frac x 2 amp quad cot left frac mbox gd x 2 right amp coth frac x 2 end aligned nbsp 反函數 编辑 nbsp 古德曼函數的反函數 圖中的藍色直線為漸近線x p 2 displaystyle scriptstyle x pm frac pi 2 nbsp 古德曼函數之反函數的定義為 arcgd x g d 1 x 0 x d t cos t p 2 lt x lt p 2 a r c t a n h sin x a r c s i n h tan x a r c c o t h csc x a r c c s c h cot x sgn x a r c c o s h sec x sgn x a r c s e c h cos x 2 a r c t a n h tan x 2 ln sec x 1 sin x ln tan x sec x ln tan p 4 x 2 1 2 ln 1 sin x 1 sin x displaystyle begin aligned mbox arcgd x amp rm gd 1 x int 0 x frac dt cos t qquad pi 2 lt x lt pi 2 amp mathrm arctanh sin x mathrm arcsinh tan x amp mathrm arccoth csc x mathrm arccsch cot x amp mbox sgn x cdot mathrm arccosh sec x mbox sgn x cdot mathrm arcsech cos x amp 2 mathrm arctanh left tan frac x 2 right amp ln left sec x 1 sin x right amp ln left tan x sec x right ln left tan left frac pi 4 frac x 2 right right amp frac 1 2 ln left frac 1 sin x 1 sin x right end aligned nbsp 有以下恆等式 sinh gd 1 x tan x cosh gd 1 x sec x tanh gd 1 x sin x sech gd 1 x cos x coth gd 1 x csc x csch gd 1 x cot x tanh gd 1 x 2 tan x 2 coth gd 1 x 2 cot x 2 displaystyle begin aligned sinh left mbox gd 1 x right amp tan x amp quad cosh left mbox gd 1 x right amp sec x tanh left mbox gd 1 x right amp sin x amp quad mbox sech left mbox gd 1 x right amp cos x coth left mbox gd 1 x right amp csc x amp quad mbox csch left mbox gd 1 x right amp cot x tanh left frac mbox gd 1 x 2 right amp tan frac x 2 amp quad coth left frac mbox gd 1 x 2 right amp cot frac x 2 end aligned nbsp 餘函數 编辑 nbsp 古德曼函數的餘函數古德曼函數之餘函數的定義為 cogd x x d t sinh t 0 lt x lt x d t sinh t lt x lt 0 sgn x ln tanh x 2 sgn x ln coth x csch x 2 artanh e x sgn x 2 arcoth e x sgn x cogd 1 x displaystyle begin aligned mbox cogd x amp begin cases int infty x frac dt sinh t qquad 0 lt x lt infty int x infty frac dt sinh t qquad infty lt x lt 0 end cases amp mbox sgn x cdot ln left tanh x over 2 right amp mbox sgn x cdot ln left coth x mbox csch x right amp 2 mbox artanh e left x right cdot mbox sgn x 2 mbox arcoth e left x right cdot mbox sgn x amp mbox cogd 1 x end aligned nbsp 有以下恆等式 sinh cogd x csch x cosh cogd x coth x tanh cogd x sech x sech cogd x tanh x coth cogd x cosh x csch cogd x sinh x displaystyle begin aligned sinh left mbox cogd x right amp mbox csch x amp quad cosh left mbox cogd x right amp coth left x right tanh left left mbox cogd x right right amp mbox sech x amp quad mbox sech left mbox cogd x right amp tanh left x right coth left left mbox cogd x right right amp cosh x amp quad mbox csch left mbox cogd x right amp sinh x end aligned nbsp 微分 编辑它們的導數分別為 d d x gd x sech x d d x arcgd x sec x d d x cogd x csch x displaystyle begin aligned frac d dx mbox gd x mbox sech x quad frac d dx mbox arcgd x sec x quad frac d dx mbox cogd x mbox csch left x right end aligned nbsp 應用 编辑在雙曲幾何中 表達式p 2 gd x displaystyle frac pi 2 mbox gd x nbsp 定義了平行角 英语 Angle of parallelism 函數 在使用麥卡托投影法的地圖 若以y displaystyle y nbsp 表示一個地點在地圖跟赤道的距離 則其緯度ϕ displaystyle phi nbsp 和y displaystyle y nbsp 的關係為 ϕ gd y displaystyle phi mbox gd y nbsp 古德曼函數在倒單擺的非週期解中出現 參考 编辑CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed pp 323 5 Gudermannian Function from Wolfram MathWorld 页面存档备份 存于互联网档案馆 發現者的生平 编辑克里斯托夫 古德曼 Christof Gudermann 1798年 1852年 是德國數學家 是高斯的學生 卡爾 魏爾施特拉斯的老師 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 2 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 古德曼函數 amp oldid 67915295, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,