餘函數

  本條目介紹的是三角函數中的一個概念，餘函數也可以指特定情況下微分方程的通解。

在數學中，餘函數（cofunction或complementary function） 是一個用來描述三角函數間關係的術語。如果函數 f 是函數 g 的餘函數，那麼 f 的函數值等於對應餘角代入函數 g 的函數值，也就是說，若f(A) = g(B)，則A與B互為餘角（即兩個角之和為直角）。^[1]這個定義通常適用於三角函數。^[2][3]某個函數的餘函數通常會在原函數的名稱加上「co-」前綴，這樣的用法最早可以追朔到埃德蒙·岡特（英语：Edmund_Gunter）在1620年的著作《Canon triangulorum》中。^[4][5]

定義

如果一個三角函數 f 是函數 g 的餘函數，此時若：

${\displaystyle f(x)=g(y)}$ 

則x和y互為餘角：

${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-y}$ 

${\displaystyle x=90^{\circ }-y}$ 

對於非三角函數（如双曲函数），或者定義域所代表的意義並非角的度量，則不適用於以上定義。但有些餘函數的定義是參考於與其相關的三角函數，例如雙曲正弦、雙曲餘弦、古德曼函數以及餘古德曼函數是在定義中將對應的三角函數替換為餘函數來定義。

例如，正弦（sine，拉丁語：sinus）和餘弦（cosine，拉丁語：cosinus^[4][5]、sinus complementi^[4][5]）互為餘函數（所以餘弦名稱有一個「餘」字，cosine且以「co-」為前綴）：

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}$ ^[1]^[3]

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}$ ^[1]^[3]

正割（secant，拉丁語：secans）和餘割（cosecant，拉丁語：cosinus、secans complementi）以及正切（tangent，拉丁語：tangens）和餘切（cotangent，拉丁語：cotangens^[4][5]、tangens complementi^[4][5]）也互為餘函數：

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}$ ^[1]^[3]	${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}$ ^[1]^[3]
${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}$ ^[1]^[3]	${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}$ ^[1]^[3]

這些等式也稱為餘函數恆等式。^[2][3]

餘函數列表

其他互為餘函數的三角函數還有：

• 正矢（versed sine，縮寫ver）和餘矢（coversed sine，cvs）
• 餘的正矢（versed cosine，縮寫vcs）和餘的餘矢（coversed cosine，cvc）
• 半正矢（haversine，縮寫hav）和半餘矢（hacoversine，縮寫hcv）
• 餘的半正矢（havercosine，縮寫hvc）和餘的半餘矢（hacovercosine，縮寫hcc）
• 正弧和餘弧
• 外正割（exsecant，縮寫exs）和外餘割（excosecant，縮寫exc）

正弦和餘弦	${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cos(A)}$ ^[1]^[3]	${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sin(A)}$ ^[1]^[3]
正割和餘割	${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\csc(A)}$ ^[1]^[3]	${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\sec(A)}$ ^[1]^[3]
正切和餘切	${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\cot(A)}$ ^[1]^[3]	${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\tan(A)}$ ^[1]^[3]
正矢和餘矢	${\displaystyle \operatorname {ver} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvs} (A)}$ ^[6]	${\displaystyle \operatorname {cvs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {ver} (A)}$
餘的正矢和餘的餘矢	${\displaystyle \operatorname {vcs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {cvc} (A)}$ ^[7]	${\displaystyle \operatorname {cvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {vcs} (A)}$
半正矢和半餘矢	${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcv} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {hcv} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hav} (A)}$
餘的半正矢和餘的半餘矢	${\displaystyle \operatorname {hvc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hcc} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {hcc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {hvc} (A)}$
外正割和外餘割	${\displaystyle \operatorname {exs} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exc} (A)}$	${\displaystyle \operatorname {exc} \left({\frac {\pi }{2}}-A\right)=\operatorname {exs} (A)}$

參見

• 双曲函数
• 雙紐餘弦（英语：Lemniscatic cosine）
• 雅可比橢圓餘弦
• 協方差
• 三角恒等式

參考文獻

1. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich. Chapter II. The Acute Angle [10] Functions of complementary angles. Trigonometry. Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company. January 1909: 11–12. 
2. Aufmann, Richard; Nation, Richard. Algebra and Trigonometry 8. Cengage Learning. 2014: 528 [2017-07-28]. ISBN 978-128596583-3. 
3. Bales, John W. . Precalculus. 2012 [2001] [2017-07-30]. （原始内容存档于2017-07-30）. 
4. Gunter, Edmund. Canon triangulorum. 1620. 
5. Roegel, Denis (编). A reconstruction of Gunter's Canon triangulorum (1620) (Research report). HAL. 2010-12-06 [2017-07-28]. inria-00543938. （原始内容于2017-07-28）. 
6. Weisstein, Eric Wolfgang. Coversine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. [2015-11-06]. （原始内容于2005-11-27）. 
7. Weisstein, Eric Wolfgang. Covercosine. MathWorld. Wolfram Research, Inc. [2015-11-06]. （原始内容于2014-03-28）.