二項式分布

在概率论和统计学中，二项分布（英語：Binomial distribution）是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

二項分布

概率质量函數
累積分布函數
记号	B(n, p)
参数	${\displaystyle n\geq 0}$ 试验次数 (整数) ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ 成功概率 (实数)
值域	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}\!}$
概率质量函数	${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!}$
累積分布函數	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!}$
期望值	${\displaystyle n\,p\!}$
中位數	${\displaystyle \{\lfloor np\rfloor ,\lceil (n+1)p\rceil \}}$之一
眾數	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}$或${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!-1}$
方差	${\displaystyle n\,p\,(1-p)\!}$
偏度	${\displaystyle {\frac {1-2\,p}{\sqrt {n\,p\,(1-p)}}}\!}$
峰度	${\displaystyle {\frac {1-6\,p\,(1-p)}{n\,p\,(1-p)}}\!}$
熵	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)\!}$
矩生成函数	${\displaystyle (1-p+p\,e^{t})^{n}\!}$
特徵函数	${\displaystyle (1-p+p\,e^{i\,t})^{n}\!}$

详述

概率质量函数

一般來說，若随机变量${\displaystyle {\mathit {X}}}$ 服从参数为${\displaystyle {\mathit {n}}}$ 和${\displaystyle {\mathit {p}}}$ 的二项分布，我们记作${\displaystyle X\sim b(n,p)}$ 或${\displaystyle X\sim B(n,p)}$ 。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：

${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ 

对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 

是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为C(n, k)，_nC_k，或ⁿC_k。该公式可以用以下方法理解：我们希望有k次成功(p^k)和n − k次失败(1 − p)^{n − k}。然而，k次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把k次成功分布在n次试验中共有C(n, k)个不同的方法。

在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上n/2个值。这是因为k > n/2时的概率可以从它的补集计算出：

${\displaystyle f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p)\,}$ 

因此，我们要看另外一个k和另外一个p（二项分布一般不是对称的）。然而，它的表现不是任意的。总存在一个整数M，满足:

${\displaystyle (n+1)p-1<M\leq (n+1)p\,}$ 

作为k的函数，表达式ƒ(k ; n, p)当k < M时单调递增，k > M时单调递减，只有当(n + 1)p是整数时例外。在这时，有两个值使ƒ达到最大：(n + 1)p和(n + 1)p − 1。M是伯努利试验的最可能的结果，称为众数。注意它发生的概率可以很小。

累积分布函数（概率分布函数）

累积分布函数可以表示为：

${\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$ 

其中${\displaystyle \scriptstyle \lfloor x\rfloor \,}$ 是小于或等于x的最大整数。

它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt\end{aligned}}}$ 

期望和方差

如果X ~ B(n, p)（也就是说，X是服从二项分布的随机变量），那么X的期望值为

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=np}$ 

方差为

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=np(1-p).}$ 

这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为p，后者的概率为1−p。该试验的期望值等于μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p。该试验的方差也可以类似地计算：σ² = (1−p)²·p + (0−p)²·(1−p) = p(1 − p).

一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).}$ 

众数和中位数

通常二项分布B(n, p)的众数等于⌊(n + 1)p⌋，其中 ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$  是取整函数。然而，当(n + 1)p是整数且p不等于0或1时，分布有两个众数：(n + 1)p和(n + 1)p − 1。当p等于0或1时，众数相应地等于0或 n。这些情况可以综述如下：

${\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{若 }}(n+1)p{\text{ 是 0 或 非 整 数 }},\\(n+1)\,p\ {\text{ 和 }}\ (n+1)\,p-1&{\text{若 }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{若 }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}}$ 

一般地，没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数，甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果：

• 如果np是整数，那么平均数、中位数和众数相等，都等于np。^[1][2]
• 任何中位数m都位于区间⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉内。^[3]
• 中位数m不能离平均数太远：|m − np| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p} }。^[4]
• 如果p ≤ 1 − ln 2，或p ≥ ln 2，或|m − np| ≤ min{p, 1 − p}（除了p = ½、n是奇数的情况以外），那么中位数是唯一的，且等于m = round(np)。^[3][4]
• 如果p = 1/2，且n是奇数，那么区间½(n − 1) ≤ m ≤ ½(n + 1)中的任何数m都是二项分布的中位数。如果p = 1/2且n是偶数，那么m = n/2是唯一的中位数。

两个二项分布的协方差

如果有两个服从二项分布的随机变量X和Y，我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义，当n = 1时我们有

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}.}$ 

第一项仅当X和Y都等于1时非零，而μ_X和μ_Y分别为X = 1和Y = 1的概率。定义p_B为X和Y都等于1的概率，便得到

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},\,}$ 

对于n次独立的试验，我们便有

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).\,}$ 

如果X和Y是相同的变量，便化为上面的方差公式。

与其他分布的关系

二项分布的和

如果X ~ B(n, p)和Y ~ B(m, p)，且X和Y相互独立，那么X + Y也服从二项分布；它的分布为

${\displaystyle X+Y\sim B(n+m,p).\,}$ 

伯努利分布

伯努利分布是二项分布在n = 1时的特殊情况。X ~ B(1, p)与X ~ Bern(p)的意思是相同的。相反，任何二项分布B(n,p)都是n次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为p。

泊松二项分布

二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是n次独立、不相同的伯努利试验(p_i)的和。如果X服从泊松二项分布，且p₁ = … = p_n =p，那么X ~ B(n, p)。

正态近似

 

n=6、p=0.5时的二项分布以及正态近似

如果n足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么B(n, p)的一个很好的近似是正态分布：

${\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p))}$ 

${\displaystyle {\mathcal {Var}}(x)=np(1-p)}$ 

n越大（至少30），近似越好，当p不接近0或1时更好。^[5]不同的经验法则可以用来决定n是否足够大，以及p是否距离0或1足够远：

• 一个规则是np和n(1 − p)都必须大于5。

泊松近似

当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为λ = np的泊松分布可以作为二项分布B(n, p)的近似，如果n足够大，而p足够小。^[6]

极限

• 当n趋于∞，p趋于0，而np固定于λ > 0，或至少np趋于λ > 0时，二项分布B(n, p)趋于期望值为λ的泊松分布。

• 当n趋于∞而p固定时，

${\displaystyle {X-np \over {\sqrt {np(1-p)\ }}}}$ 

的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。

例子

一个简单的例子如下：掷一枚骰子十次，那么掷得4的次数就服从n = 10、p = 1/6的二项分布。

參見

• 概率论
• 機率分布
• 卜瓦松分布
• 负二项分布

参考文献

1. Neumann, P. Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden. 1966, 19: 29–33 （德语）. 
2. Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332.
3. Kaas, R.; Buhrman, J.M. Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 1980, 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x. 
4. Kais Hamza. The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistics & Probability Letters: 21–25. [2018-04-02]. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-u. （原始内容于2020-12-15）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley. 1978: 130. 
6. NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, e-Handbook of Statistical Methods.