中心流形

中心流形（center manifold）是動力系統數學理論的一部份，最早是用此概念來判斷退化平衡點的穩定性。之後這個概念成為数学模型的建構基礎。

彈跳的球，若不考慮球在反彈時的形變，其運動可以以牛頓運動定律來描述

若將球往上拋。可根據牛顿运动定律預測球的運動，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在球反彈（英语：Bouncing ball）時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時，球會有形變，就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進，需要用连续介质力学來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。 在反彈後，球的形變會快速消失，球繼續依循牛顿运动定律。 若將球視為是由許多互相影響的成份所組成的系統，牛頓運動定律對球的描述，只以位置、速度及旋轉方式呈現，即為變形球的中心流形 ^[1]。若有一系統是由許多互相影響成份所組成，而其影響效應會快速衰減，可以用中心流形，以較簡單的方式來描述系統。

中心流形在分岔理論中有重要的地位，因為系統在中心流形的位置會出現特殊的行為，在多尺度物理學（英语：multiscale mathematics）中也很重要，微尺度的長時間動態常常會受到相對簡單、變數尺度較大的中心流形吸引。

定義

 

系統${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},}$  ${\displaystyle {\dot {y}}=y}$ ，鞍點平衡點的中心流形（紅色）及不穩定中心流形（綠色）

 

在2D相圖上亂數選擇的點，這些點的動態會指數收斂為較慢（非指數）的動態。中心流形動態的研究可以判斷在原點的非雙曲性不動點的穩定性

动力系统的中心流形是以系統的平衡點為基礎，以球為例，就是球靜止，沒有變形的狀態。 平衡點的中心流形包括了鄰近的軌跡（英语：Orbit (dynamics)）中，沒有快速指数衰减，也沒有快速指數增長的的軌跡。若以球來說，中心流形中包括了球的移動及自旋運動，但不包括球的形變（因為形變會由於阻尼力而快速衰減）。

在數學上，研究动力系统平衡點的第一步是線性化，之後計算其特征值和特征向量。 其對應特徵值有負實數的特徵向量（若有廣義特徵向量（英语：generalized eigenvectors）的話，也包括在內）可以組成基的特徵空間。 對應特徵值有正實數的（廣義）特徵向量可以組成不穩定的特徵空間。 若平衡點為雙曲平衡點（英语：hyperbolic equilibrium point）（所有線性化後的特徵值，實部都不為0）。Hartman-Grobman定理（英语：Hartman-Grobman theorem）可以保證在平衡點附近的動態可以完全用特徵值及特徵向量來描述。

若平衡點的特徵值中，有特徵值的實部是零，則是對應的（廣義）特徵向量會組成「中心特徵空間」，以球為例，就是球在不受力下刚体动力学的整個集合^[2]。 若不只考慮線性化後的系統，將動力系統加上非線性或是外力的微擾，中心特徵空間會變形到鄰近的中心流形 ^[3]。 若特徵值不只是實部為零，而是特徵值的複數值為零（如球的例子），對應的特徵空間可以更準確的對應慢流形（英语：slow manifold）。 中心（慢）流形的行為無法由線性化來判定，因此不容易建構。

類似的道理，在穩定特徵空間或不穩定特徵空間加上非線性或是外力的微擾，會讓系統變形到鄰近的穩定流形或不穩定流形 ^[4]。 這三種流形是不變流形中的三類例子。

令${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})}$ 是动力系统，其平衡点為${\displaystyle {\textbf {x}}^{*}}$ ，則系統在平衡點附近的線性化為

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}=A{\textbf {x}},\quad {\text{where }}A={\frac {d{\textbf {f}}}{d{\textbf {x}}}}({\textbf {x}}^{*}).}$ 

雅可比矩阵 ${\displaystyle A}$ 可以定義以下的三種子空間：

• 穩定子空間，是由特徵值實部小於0的廣義特徵向量（英语：generalized eigenvectors）所生成。
• 不穩定子空間，是由特徵值實部大於0的廣義特徵向量所生成。
• 中心子空間，是由特徵值實部等於0的廣義特徵向量所生成。

依照應用的不同，也會分類以下的子空間，例如中心穩定、中心不穩定、次中心、或是快速子空間。 這些子空間都是線性化方程的不变子空间。

對應線性系統，非線性系統會有慢流形，每一種都會包括一種非線性系統的軌跡集合^[5]。

• 和穩定子空間相切，有相同維度的不變流形是穩定流形.
• 不穩定流形和不穩定子空間相切，也有相同維度。
• 中心流形和中心子空間相切，有相同維度。若中心子空間的特徵值都為0，此中心流形會稱為慢流形。

中心流形的相關定理

中心流形存在定理（center manifold existence theorem）內容是：若函數${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$  是${\displaystyle C^{r}}$ （${\displaystyle r}$ 次的連續可微），則針對每一個平衡點，都存在一個有限大小的鄰域，使得以下三項敘述，至少會有一項成立^[6]：

• 唯一的${\displaystyle C^{r}}$ 穩定流形
• 唯一的${\displaystyle C^{r}}$ 不穩定流形
• （可能不唯一的）${\displaystyle C^{r-1}}$ 中心流形

像非線性的座標轉換為正則型式（英语：normal form (bifurcation theory)）就可以清楚的分出這三種流形^[7]。有網頁服務可以針對有限維的系統進行必要的電腦計算^[8]。

若在那些沒有不穩定流形的例子中，中心流形一般會和建模有關。 中心流形出現定理提到可以選擇鄰域，使系統的所有解維持在會以指數收斂到中心流形上某個解${\displaystyle {\textbf {y}}(t)}$ 的範圍內。 也就是說 ${\displaystyle {\textbf {x}}(t)={\textbf {y}}(t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta 't})\quad {\text{as }}t\to \infty \,,}$  會以某速率值${\displaystyle \beta '}$ 進行 ^[9]。 此定理也確保針對多許多的初始條件，整個系統的解會快速指數收斂到比較低維度的中心流形上。

第三個定理是近似定理，若針對某不變流形（例如${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ ），有近似表示式滿足系統的微分方程，當${\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}}$ 時，其residuals為${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$ ，則不變流形可以用${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ 來近似，其誤差也是同一量級的，例如是${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$ 。

另一種反向分析

上述的理論都是針對特定問題，想找到不變流形的性質。特別是建構一個流形來近似系統的不變流形。 另一種方式是針對給定系統，找到一個近似的系統，建構此系統的不變流形，這稱為反向分析。 目的是將理論應用到範圍更廣的系統中，並估計誤差以及有效域的大小 ^[10][11]。

此方法和數值建模中公認的反向誤差分析（英语：backward error analysis）完全相同。

中心流形以及非線性系統的分析

平衡點的穩定性和其流形的「穩定性」有關，中心流形是否存在的問題也帶來了有關中心流形的系統動力學問題，這可以由中心流形約化（center manifold reduction）來分析，再配合系統參數μ，可以引到分岔理論的概念。也有些網站可以進行相關計算^{[12][13][14][15]}。

例子

簡單的例子

考慮以下系統

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.}$ 

在原點的不穩定流形為y軸，穩定流形為平凡集{(0, 0)}。不在穩定流形上的任何軌跡都滿足以下形式的方程式解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y=Ae^{-1/x}} ，其中A為實數的常。可以推得針對任意的A，可以創建中心流形，方式是將${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$ ，x > 0的部份，和x為非正值的X軸連接。而且，所有的中心流形都有潛在的非唯一性，不過非唯一性只會發生在變數為複數的情形下。

时滞微分方程

另一個例子可以用中心流形來為霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是發生在以下的时滞微分方程

${\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}}$ 

參數${\displaystyle a\approx 4}$ 的情形。嚴格來說，因為有时滞，微分方程會變成無限維。 不過可以用以下的方式來近似时滞，讓系統仍為有限維度。

定義${\displaystyle u_{1}(t)=x(t)}$  以及適當的时滞變數 ${\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)}$ ，利用其中間值 ${\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})}$ 及 ${\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})}$ .

在接近臨界值的參數${\displaystyle a=4+\alpha }$ ，时滞微分方程可以用以下系統來近似

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].}$ 

透過網頁服務，可以找到相量${\displaystyle s(t)}$  以及其共軛${\displaystyle {\bar {s}}(t)}$ ，中心流形為

${\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})}$ 

中心流形的演進為

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})}$ 

從此演進可以看出，系統在${\displaystyle \alpha >0\ (a>4)}$ 時，在原點是線性的不穩定，但三次非線性使其有穩定的極限環，就像經典霍普夫分岔的結果一樣。

參考資料

1. Muncaster, R.G. Invariant Manifolds In Mechanics II: Zero-dimensional Elastic Bodies With Directors. Arch. Rat. Mech. Anal. 1983, 84 (4): 375–392. Bibcode:1983ArRMA..84..375M. doi:10.1007/BF00250588. 
2. Roberts, A.J. The invariant manifold of beam deformations. Part 1: the simple circular rod. J. Elas. 1993, 30: 1–54. doi:10.1007/BF00041769. 
3. Carr, Jack. Applications of centre manifold theory. Applied Mathematical Sciences 35. Springer-Verlag. 1981. ISBN 978-0-387-90577-8. doi:10.1007/978-1-4612-5929-9. 
4. Kelley, A. The stable, center-stable, center, center-unstable and unstable manifolds. J. Differential Equations. 1967, 3 (4): 546–570. Bibcode:1967JDE.....3..546K. doi:10.1016/0022-0396(67)90016-2  . 
5. Guckenheimer & Holmes (1997), Section 3.2
6. Guckenheimer & Holmes (1997), Theorem 3.2.1
7. Murdock, James. Normal forms and unfoldings for local dynamical systems. Springer-Verlag. 2003. 
8. 存档副本. [2020-04-20]. （原始内容于2013-11-09）. 
9. Iooss, G.; Adelmeyer, M. Topics in Bifurcation Theory. 1992: 7. 
10. Roberts, A.J. Backwards theory supports modelling via invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems. 2019. arXiv:1804.06998   [math.DS]. 
11. Hochs, Peter; Roberts, A.J. Normal forms and invariant manifolds for nonlinear, non-autonomous PDEs, viewed as ODEs in infinite dimensions. J. Differential Equations. 2019, 267 (12): 7263–7312. Bibcode:2019JDE...267.7263H. arXiv:1906.04420  . doi:10.1016/j.jde.2019.07.021. 
12. 存档副本. [2020-04-20]. （原始内容于2020-03-21）. 
13. A.J. Roberts. Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems. Physica A. 2008, 387 (1): 12–38. Bibcode:2008PhyA..387...12R. arXiv:math/0701623  . doi:10.1016/j.physa.2007.08.023. 
14. 存档副本. [2020-04-20]. （原始内容于2020-03-21）. 
15. A.J. Roberts. Low-dimensional modelling of dynamics via computer algebra. Comput. Phys. Commun. 1997, 100 (3): 215–230. Bibcode:1997CoPhC.100..215R. arXiv:chao-dyn/9604012  . doi:10.1016/S0010-4655(96)00162-2. 

• Guckenheimer, John; Holmes, Philip, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences 42, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90819-9, corrected fifth printing .

外部連結