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一月 01, 1970
不变流形, 在动力系统的研究中, 是在动力系统的作用下不变的拓扑流形, 慢流形, 英语, slow, manifold, 中心流形, 稳定流形, 不稳定流形, 次中心流形, subcenter, manifold, 和慣性流形, 英语, inertial, manifold, 都是的例子, 在从平衡点刚伸出来的时候, 方向沿着动力系统, jacobian, 特征子空间的方向, 目录, 定义, 例子, 简单的二维动力系统, 非自治动力系统中的, 相關條目, 参考资料定义, 编辑考虑这样的一个自治微分方程, displ. 在动力系统的研究中 不变流形是在动力系统的作用下不变的拓扑流形 1 慢流形 英语 Slow manifold 中心流形 稳定流形 不稳定流形 次中心流形 subcenter manifold 和慣性流形 英语 Inertial manifold 都是不变流形的例子 不变流形在从平衡点刚伸出来的时候 方向沿着动力系统 Jacobian 特征子空间的方向 目录 1 定义 2 例子 2 1 简单的二维动力系统 3 非自治动力系统中的不变流形 4 相關條目 5 参考资料定义 编辑考虑这样的一个自治微分方程 d x d t f x x R n displaystyle dx dt f x x in mathbb R n nbsp 其初值 x 0 x 0 displaystyle x 0 x 0 nbsp 的解记为流 x t ϕ t x 0 displaystyle x t phi t x 0 nbsp 如果对于任一 x 0 S R n displaystyle x 0 in S subset mathbb R n nbsp 在解 t ϕ t x 0 displaystyle t mapsto phi t x 0 nbsp 的最大存在区间上 x 0 displaystyle x 0 nbsp 的像都在 S displaystyle S nbsp 内 集合 S displaystyle S nbsp 就被称为这一微分方程的不变集 也可以这么说 经过 S displaystyle S nbsp 中每个点 x 0 displaystyle x 0 nbsp 的轨迹都总是在 S displaystyle S nbsp 中 另外 如果 S displaystyle S nbsp 还是个流形 便可称其为不变流形 2 例子 编辑简单的二维动力系统 编辑 固定参数 a displaystyle a nbsp 考虑受下面耦合起来的微分方程组所控制的变量 x t y t displaystyle x t y t nbsp d x d t a x x y d y d t y x 2 2 y 2 displaystyle begin aligned frac mathrm d x mathrm d t amp ax xy frac mathrm d y mathrm d t amp y x 2 2y 2 end aligned nbsp 原点便是一平衡点 这一系统有两道穿过原点的值得探究的流形 由于 x 0 displaystyle x 0 nbsp 时 x displaystyle x nbsp 方向的方程有 d x d t 0 displaystyle tfrac mathrm d x mathrm d t 0 nbsp 故而纵轴 x 0 displaystyle x 0 nbsp 是不变的 这一不变流形是原点的稳定流形 当 a 0 displaystyle a geq 0 nbsp 因为所有 x 0 0 y 0 gt 1 2 displaystyle x 0 0 y 0 gt 1 2 nbsp 的初值条件都会导致解渐进地靠近原点 a displaystyle a nbsp 不管取何值 抛物线 y x 2 1 2 a displaystyle y x 2 1 2a nbsp 都是不变的 考虑这一时间导数 d d t y x 2 1 2 a displaystyle tfrac mathrm d mathrm d t left tfrac y x 2 1 2a right nbsp 它在 y x 2 1 2 a displaystyle y tfrac x 2 1 2a nbsp 上为零 符合不变流形的要求 可见该抛物线是不变流形 当 a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp 这一抛物线是原点的不稳定流形 当 a 0 displaystyle a 0 nbsp 这一抛物线是原点的中心流形 更准确地说是慢流形 当 a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp 原点的稳定流形只有一道 所有的点 x y y gt 1 2 displaystyle x y y gt 1 2 nbsp 都是该稳定流形中的点 非自治动力系统中的不变流形 编辑以下微分方程 d x d t f x t x R n t R displaystyle frac mathrm d x mathrm d t f x t x in mathbb R n t in mathbb R nbsp 表示一个非自治动力系统 英语 Non autonomous system mathematics 它的解记作 x t t 0 x 0 ϕ t 0 t x 0 displaystyle x t t 0 x 0 phi t 0 t x 0 nbsp 初值条件为 x t 0 t 0 x 0 x 0 displaystyle x t 0 t 0 x 0 x 0 nbsp 在这样的系统的扩展相空间 R n R displaystyle mathbb R n times mathbb R nbsp 中 任一初始曲面 M 0 R n displaystyle M 0 subset mathbb R n nbsp 可生成一不变流形 M t R ϕ t 0 t M 0 displaystyle mathcal M cup t in mathbb R phi t 0 t M 0 nbsp 在这一大族不变流形中 如何找出那些对整个系统动态性质影响最大的那些流形 是一个非常基础性的问题 在非自治动力系统的扩展相空间中的这些最有影响力的不变流形又被称为拉格朗日拟序结构 Lagrangian Coherent Structures 3 相關條目 编辑双曲集 英语 Hyperbolic set 拉格朗日拟序结构 波譜子流形 英语 Spectral submanifold 参考资料 编辑 Hirsh M W Pugh C C Shub M Invariant Manifolds Lect Notes Math 583 Springer Berlin Heidelberg 1977 C Chicone Ordinary Differential Equations with Applications volume 34 of Texts in Applied Mathematics Springer 2006 p 34 Haller G Lagrangian Coherent Structures Annual Review of Fluid Mechanics 2015 47 1 137 162 Bibcode 2015AnRFM 47 137H doi 10 1146 annurev fluid 010313 141322 取自 https zh wikipedia org w index php title 不变流形 amp oldid 77109289, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,