線性化

  关于並行運算中的類似概念，请见「線性一致性」。

数学上的線性化（linearization）是找函数在特定點的线性近似，也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡点局部穩定性的一種方法^[1]。 此方法常應用在工程学、物理学、经济学及生态学的應用中。

函數的線性化

函数的線性化為線性函數。針對函數${\displaystyle y=f(x)}$ ，若要用在任意點${\displaystyle x=a}$ 下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle [a,b]}$ （或${\displaystyle [b,a]}$ ）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在${\displaystyle x=a}$ 點附近，以直線來近似函數的值。例如${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ ，那麼針對${\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}}$ ，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。

針對任意函數${\displaystyle y=f(x)}$ ，${\displaystyle f(x)}$ 在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是${\displaystyle L_{a}(a)=f(a)}$ ，其中${\displaystyle L_{a}(x)}$ 是${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle x=a}$ 的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點 ${\displaystyle (H,K)}$ ，斜率為${\displaystyle M}$ 為直線。方程式的一般形為${\displaystyle y-K=M(x-H)}$ 。

若是配合點${\displaystyle (a,f(a))}$ ，${\displaystyle L_{a}(x)}$ 即變成${\displaystyle y=f(a)+M(x-a)}$ 。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用${\displaystyle f(x)}$ 在點${\displaystyle x=a}$ 切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點${\displaystyle x=a}$ ，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率${\displaystyle M}$ 最準確的值會是在${\displaystyle x=a}$ 點的切線斜率。

 

f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值

旁邊的圖可以說明${\displaystyle f(x)}$ 在點${\displaystyle x}$ 的切線。在${\displaystyle f(x+h)}$ 位置，其中${\displaystyle h}$ 是小的正值或是負值，${\displaystyle f(x+h)}$ 非常接近${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$ 點的切線。

函數在點${\displaystyle x=a}$ 線性化的最終方程為：

${\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))}$ 

針對${\displaystyle x=a}$ ，${\displaystyle f(a)=f(x)}$ 。函數${\displaystyle f(x)}$ 的導數為${\displaystyle f'(x)}$ ，而函數${\displaystyle f(x)}$ 在點${\displaystyle a}$ 的斜率為${\displaystyle f'(a)}$ 。

例子

若要找${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ ，可以用${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$ 的資訊。函數${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ 在點${\displaystyle x=a}$ 的線性化為${\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)}$ ，因為函數${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$ 定義了函數${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ 在點${\displaystyle x}$ 的斜率。

代入${\displaystyle a=4}$ ，其線性化結果為${\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}}$ 。

針對${\displaystyle x=4.001}$ 的例子，可得${\displaystyle {\sqrt {4.001}}}$ 近似${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025}$ 。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

多變數函數的線性化

函數${\displaystyle f(x,y)}$ 在點${\displaystyle p(a,b)}$ 線性化的方程式為：

${\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)}$ 

多變數函數${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ 在點${\displaystyle \mathbf {p} }$ 線性化的通式為

${\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是變數向量，而${\displaystyle \mathbf {p} }$ 是要線性化的點^[2]。

線性化的應用

配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒级数的一階展開。針對以下的系統

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ ,

其線性化系統為

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ 是要觀測的特定點，而${\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )}$ 是${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ 在點${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ 所計算的雅可比矩阵。

穩定性分析

在自治系统的穩定性分析中，可以用在雙曲平衡點（英语：hyperbolic equilibrium point）計算雅可比矩阵的特征值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論（英语：linearization theorem）的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素^[3]。

微观经济学

在微观经济学中，決策規則（英语：decision rule）可以用狀態空間下線性化的作法來近似^[4]。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化^[4]。所得動態方程的系統的唯一解即為其解^[4]。

最佳化

在最优化中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域极值。

多物理場

在多物理场系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如牛顿法）。這類的例子包括MRI scanner（英语：MRI scanner）系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統^[5]

相關條目

• 線性穩定性（英语：Linear stability）
• 切線剛性矩陣（英语：Tangent stiffness matrix）
• 穩定性導數（英语：Stability derivatives）
• 泰勒公式
• 泛函方程 (L函數)（英语：Functional equation (L-function)）

參考資料

1. The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia. [2020-04-10]. （原始内容于2018-07-04）. 
2. Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 互联网档案馆的，存档日期2010-06-07.
3. Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V. Time-Varying Linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, 17 (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732. 
4. Moffatt, Mike. (2008) Dotdash State-Space Approach （页面存档备份，存于互联网档案馆） Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
5. Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M. A linearised hp–finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, 112 (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559. 

外部連結

• Linearization for Model Analysis and Control Design （页面存档备份，存于互联网档案馆）