不变因子, 数学中, 是λ, 矩阵理论中的概念, 定义为λ, 矩阵的若尔当标准型中主对角线上出现的非零元素, 对矩阵进行初等变换不会影响, 所以两个等价的矩阵拥有相同的, 在的概念上可以进一步定义初等因子的概念, 目录, 定义, 初等因子, 性质, 参考来源定义, 编辑λ, 矩阵是以不定元λ的多项式作为元素的矩阵, 例如, displaystyle, lambda, begin, bmatrix, lambda, lambda, cdots, lambda, lambda, lambda, cdots, lambd. 数学中 不变因子是l 矩阵理论中的概念 不变因子定义为l 矩阵的若尔当标准型中主对角线上出现的非零元素 对矩阵进行初等变换不会影响不变因子 所以两个等价的矩阵拥有相同的不变因子 在不变因子的概念上可以进一步定义初等因子的概念 目录 1 定义 2 初等因子 3 性质 4 参考来源定义 编辑l 矩阵是以不定元l的多项式作为元素的矩阵 例如 A l a 11 l a 12 l a 1 n l a 21 l a 22 l a 2 n l a n 1 l a n 2 l a n n l displaystyle A lambda begin bmatrix a 11 lambda amp a 12 lambda amp cdots amp a 1n lambda a 21 lambda amp a 22 lambda amp cdots amp a 2n lambda vdots amp vdots amp ddots amp vdots a n1 lambda amp a n2 lambda amp cdots amp a nn lambda end bmatrix 经过各种初等变换 一个l 矩阵可以变换为矩阵的标准形 形如 A l d 1 l d 2 l d r l 0 0 displaystyle A lambda Rightarrow begin bmatrix d 1 lambda amp amp amp amp amp amp amp d 2 lambda amp amp amp amp amp amp amp ddots amp amp amp amp amp amp amp d r lambda amp amp amp amp amp amp amp 0 amp amp amp amp amp amp amp ddots amp amp amp amp amp amp amp 0 end bmatrix 其中r 是矩阵的秩 并且每个多项式d i l displaystyle d i lambda 整除d i 1 l displaystyle d i 1 lambda 若1 k R A l displaystyle 1 leq k leq mathrm R A lambda 定义矩阵A l displaystyle A lambda 全部非零k阶子式的最大首一公因式为矩阵A l displaystyle A lambda 的k阶行列式因子 那么高阶的行列式因子必然是低阶的行列式因子的倍数 可以证明 初等变换不改变各阶行列式因子 所以等价的矩阵拥有相同的各阶行列式因子 然而 通过初等变换 总是可以将一个l 矩阵变为只有对角线上有非零元素的标准形 所以 为了研究各阶的行列式因子 只需要看矩阵的标准形中所显示的信息就可以了 在标准型中 可以看出 当k gt r displaystyle k gt r 时 行列式因子必然是0 当k r displaystyle k leq r 的时候 行列式因子是前k 行k 列构成的子式 D k l d 1 l d 2 l d k l displaystyle D k lambda d 1 lambda d 2 lambda cdots d k lambda 所以 反过来有 d 1 l D 1 l displaystyle d 1 lambda D 1 lambda d i l D i l D i 1 l i 2 displaystyle d i lambda frac D i lambda D i 1 lambda qquad i geq 2 也就是说 l 矩阵的标准形是唯一的 从而可以定义 一个l 矩阵的不变因子是其标准形中主对角线上的元素 d 1 l d 2 l d r l displaystyle d 1 lambda d 2 lambda cdots d r lambda 初等因子 编辑初等因子的定义建立在不变因子上 设某个矩阵的不变因子是 d 1 l d 2 l d r l displaystyle d 1 lambda d 2 lambda cdots d r lambda 那么将这些不变因子在复数域上分解成一次多项式的乘积 d 1 l l x 11 c 11 l x 12 c 12 l x 1 m c 1 m displaystyle d 1 lambda lambda x 11 c 11 lambda x 12 c 12 cdots lambda x 1m c 1m d 2 l l x 21 c 21 l x 22 c 22 l x 2 m c 2 m displaystyle d 2 lambda lambda x 21 c 21 lambda x 22 c 22 cdots lambda x 2m c 2m displaystyle vdots d r l l x r 1 c r 1 l x r 2 c r 2 l x r m c r m displaystyle d r lambda lambda x r1 c r1 lambda x r2 c r2 cdots lambda x rm c rm 其中的c i j displaystyle c ij 是一次多项式出现的次数 如果有某个c i j gt 0 displaystyle c ij gt 0 那么对应的多项式 l x i j c i j displaystyle lambda x ij c ij 就称为矩阵的初等因子 一个矩阵的所有初等因子合称为它的初等因子组 值得注意的是同一个初等因子可以重复出现在初等因子组中 重复的次数是它在以上表达式中出现的次数 从一个矩阵的不变因子可以确定出这个矩阵的所有初等因子 反之 从一个矩阵的初等因子组也可以反推出矩阵的所有不变因子 具体做法是 将具有相同因子的初等因子根据幂次的大小从高到低排成一排 如果不够的话用1补足 这样会得到若干排多项式 每排的个数是r 个 接下来将每排最右边的多项式全部乘起来 就得到d 1 displaystyle d 1 将每排右数第二个多项式全部乘起来 就得到d 2 displaystyle d 2 等等 以此类推 就可以得到所有的不变因子 性质 编辑矩阵的特征多项式是所有不变因子的乘积 矩阵的最小多项式是d r l displaystyle d r lambda 数域上两个矩阵相似的条件是它们对应的特征矩阵拥有相同的初等因子组或者相同的不变因子 一个维数为d 主对角线上的值是a displaystyle alpha 的若尔当块的初等因子是多项式 l a d displaystyle lambda alpha d 参考来源 编辑姚慕生 高等代数 复旦大学出版社 2007 ISBN 7 309 03169 5 王萼芳 高等代数教程 清华大学出版社 1997 ISBN 9787302024521 取自 https zh wikipedia org w index php title 不变因子 amp oldid 69838642, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,