方根, 开方, 重定向至此, 关于古代人物, 请见, 衛開方, 在数学中, 一數b, displaystyle, 為数a, displaystyle, 的n, displaystyle, 則b, displaystyle, 在提及实数a, displaystyle, 的n, displaystyle, 次的时候, 若指的是此数的主n, displaystyle, 則可以用根号, displaystyle, sqrt, color, white, 表示成a, displaystyle, sqrt, 例如, 1024的. 开方 重定向至此 关于古代人物 请见 衛開方 在数学中 一數b displaystyle b 為数a displaystyle a 的n displaystyle n 次方根 則b n a displaystyle b n a 在提及实数a displaystyle a 的n displaystyle n 次方根的时候 若指的是此数的主n displaystyle n 次方根 則可以用根号 t displaystyle sqrt color white t 表示成a n displaystyle sqrt n a 例如 1024的主10次方根为2 就可以记作1024 10 2 displaystyle sqrt 10 1024 2 當n 2 displaystyle n 2 時 則n displaystyle n 可以省略 定义实数a displaystyle a 的主n displaystyle n 次方根为a displaystyle a 的n displaystyle n 次方根 且具有与a displaystyle a 相同的正负号的唯一实数b displaystyle b 在n displaystyle n 是偶数時 负数没有主n displaystyle n 次方根 习惯上 将2次方根叫做平方根 将3次方根叫做立方根 方根也是幂的分数指数 即數b displaystyle b 為数a displaystyle a 的1 n displaystyle frac 1 n 次方 b a n a 1 n displaystyle b sqrt n a a frac 1 n 目录 1 符号史 2 基本运算 3 不尽根数 4 无穷级数 5 找到所有的方根 5 1 正实数 6 解多项式 7 算法 7 1 從牛頓法導出 7 2 從牛頓二項式定理導出 8 参见 9 外部链接符号史 编辑主条目 根号 最早的根号 源于字母 r 的变形 出自拉丁语latus的首字母 表示 边长 没有线括号 即被开方数上的横线 后来数学家笛卡尔给其加上线括号 但与前面的方根符号是分开的 因此在复杂的式子显得很乱 直至18世纪中叶 数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成 并将根指数写在根号的左上角 以表示高次方根 当根指数为2时 省略不写 形成了现在所熟悉的开方运算符号x displaystyle sqrt color white x nbsp 考慮在计算机中的输入问题 有时也可以使用sqrt a b 来表示a的b次方根 基本运算 编辑带有根号的运算可由如下公式推導而得 a b n a n b n a 0 b 0 displaystyle sqrt n ab sqrt n a sqrt n b qquad a geq 0 b geq 0 nbsp a b n a n b n a 0 b gt 0 displaystyle sqrt n frac a b frac sqrt n a sqrt n b qquad a geq 0 b gt 0 nbsp a m n a n m a 1 n m a m n displaystyle sqrt n a m left sqrt n a right m left a frac 1 n right m a frac m n nbsp 这裡的a和b是正数 对于所有的非零复数a displaystyle a nbsp 有n displaystyle n nbsp 个不同的复数b displaystyle b nbsp 使得b n a displaystyle b n a nbsp 所以符号a n displaystyle sqrt n a nbsp 就會出現歧义 通常這樣寫是取n displaystyle n nbsp 個值當中主幅角最小的 n displaystyle n nbsp 次单位根是特别重要的 当一个数从根号形式变换到幂形式 幂的规则仍适用 即使对分数幂 也就是 a m a n a m n displaystyle a m a n a m n nbsp a b m a m b m displaystyle left frac a b right m frac a m b m nbsp a m n a m n displaystyle left a m right n a mn nbsp 例如 a 5 3 a 4 5 a 5 3 a 4 5 a 5 3 4 5 a 37 15 displaystyle sqrt 3 a 5 sqrt 5 a 4 a frac 5 3 a frac 4 5 a frac 5 3 frac 4 5 a frac 37 15 nbsp 若要做加法或减法 需考慮下列的概念 a 5 3 a a a a a 3 a 3 a 2 3 a a 2 3 displaystyle sqrt 3 a 5 sqrt 3 aaaaa sqrt 3 a 3 a 2 a sqrt 3 a 2 nbsp 若已可以简化根式表示式 则加法和减法就只是群的 同类项 问题 例如 a 5 3 a 8 3 displaystyle sqrt 3 a 5 sqrt 3 a 8 nbsp a 3 a 2 3 a 6 a 2 3 displaystyle sqrt 3 a 3 a 2 sqrt 3 a 6 a 2 nbsp a a 2 3 a 2 a 2 3 displaystyle a sqrt 3 a 2 a 2 sqrt 3 a 2 nbsp a a 2 a 2 3 displaystyle a a 2 sqrt 3 a 2 nbsp 不尽根数 编辑未經化簡的根數 一般叫做 不尽根数 surd 可以处理为更简单的形式 如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧 a 2 b a b displaystyle sqrt a 2 b a sqrt b nbsp a m b n a m n b n displaystyle sqrt n a m b a frac m n sqrt n b nbsp a b a b displaystyle sqrt a sqrt b sqrt ab nbsp a b 1 1 a b a b a b a b a b a b displaystyle left sqrt a sqrt b right 1 frac 1 sqrt a sqrt b frac sqrt a sqrt b sqrt a sqrt b sqrt a sqrt b frac sqrt a sqrt b a b nbsp 无穷级数 编辑方根可以表示为无穷级数 1 x s t n 0 k 0 n s t k t s t n t n x n x lt 1 displaystyle begin aligned amp 1 x frac s t sum n 0 infty frac displaystyle prod k 0 n s t kt s t n t n x n amp x lt 1 end aligned nbsp 找到所有的方根 编辑任何数的所有的根 实数或复数的 可以通过简单的算法找到 这个数应当首先被写为如下形式a e i f displaystyle ae i varphi nbsp 参见欧拉公式 接着所有的n次方根给出为 e f 2 k p n i a n displaystyle e frac varphi 2k pi n i times sqrt n a nbsp 对于k 0 1 2 n 1 displaystyle k 0 1 2 ldots n 1 nbsp 这裡的a n displaystyle sqrt n a nbsp 表示a displaystyle a nbsp 的主n displaystyle n nbsp 次方根 正实数 编辑 所有x n a displaystyle x n a nbsp 或a displaystyle a nbsp 的n displaystyle n nbsp 次方根 这裡的a displaystyle a nbsp 是正实数 的复数解由如下简单等式给出 e 2 p i k n a n displaystyle e 2 pi i frac k n times sqrt n a nbsp 对于k 0 1 2 n 1 displaystyle k 0 1 2 ldots n 1 nbsp 这裡的a n displaystyle sqrt n a nbsp 表示a displaystyle a nbsp 的主n displaystyle n nbsp 次方根 解多项式 编辑曾经有數學猜想 認為多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达 但是阿贝尔 鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的 例如 方程 x 5 x 1 displaystyle x 5 x 1 nbsp 的解不能用根号表达 要解任何n次方程 参见求根算法 算法 编辑對於正數A displaystyle A nbsp 可以通過以下算法求得A n displaystyle sqrt n A nbsp 的值 猜一個A n displaystyle sqrt n A nbsp 的近似值 將其作為初始值x 0 displaystyle x 0 nbsp 設 x k 1 1 n n 1 x k A x k n 1 displaystyle x k 1 frac 1 n left n 1 x k frac A x k n 1 right nbsp 記誤差為D x k 1 n A x k n 1 x k displaystyle Delta x k frac 1 n left frac A x k n 1 x k right nbsp 即x k 1 x k D x k displaystyle x k 1 x k Delta x k nbsp 重複步驟2 直至絕對誤差足夠小 即 D x k lt ϵ displaystyle Delta x k lt epsilon nbsp 從牛頓法導出 编辑 求A n displaystyle sqrt n A nbsp 之值 亦即求方程x n A 0 displaystyle x n A 0 nbsp 的根 設f x x n A displaystyle f x x n A nbsp 其導函數即f x n x n 1 displaystyle f x nx n 1 nbsp 以牛頓法作迭代 便得 x k 1 x k f x k f x k displaystyle x k 1 x k frac f x k f x k nbsp x k x k n A n x k n 1 displaystyle x k frac x k n A nx k n 1 nbsp x k x k n A n x k n 1 displaystyle x k frac x k n frac A nx k n 1 nbsp 1 n n 1 x k A x k n 1 displaystyle frac 1 n left n 1 x k frac A x k n 1 right nbsp 從牛頓二項式定理導出 编辑 設x k displaystyle x k nbsp 為迭代值 y displaystyle y nbsp 為誤差值 令A x k y n displaystyle A x k y n nbsp 作牛頓二項式展開 取首兩項 A x k n n x k n 1 y displaystyle A approx x k n nx k n 1 y nbsp 調項得y x k n A n x k n 1 1 n x k A x k n 1 displaystyle y approx frac x k n A nx k n 1 frac 1 n left x k frac A x k n 1 right nbsp 將以上結果代回 得遞歸公式x k 1 x k y 1 n n 1 x k A x k n 1 displaystyle x k 1 x k y frac 1 n left n 1 x k frac A x k n 1 right nbsp 参见 编辑增乘开平方法 幂 无理数 分母有理化 双重根号 2的12次方根外部链接 编辑 nbsp 数学主题 高階根號求解 页面存档备份 存于互联网档案馆 此法亦可求任意正實數指數值 立方根與高次方根 永久失效連結 指數 高中數學教案 法国心算天才70 2秒算出200位数13次方根 图 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 方根 amp oldid 76606203, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,