代数, 在归入线性代数的各种数学分支中, 同态的核测量同态不及于单射的程度, 核的定义在不同上下文中采用不同的形式, 但是在所有形式中, 同态的核是平凡的, 在与那个上下文有关的意义上, 当且仅当这个同态是单射, 同态基本定理, 或第一同构定理, 是应用于核所定义的商代数的采用了各种形式的一个定理, 目录, 例子纵览, 线性算子, 群同态, 环同态, 幺半群同态, 泛代数例子纵览, 编辑线性算子, 编辑, 是向量空间并设, 是从, 的线性变换, 如果0w, 的零向量, 的核是单元素集合, 的前像, 就是说, 的由被. 在归入线性代数的各种数学分支中 同态的核测量同态不及于单射的程度 核的定义在不同上下文中采用不同的形式 但是在所有形式中 同态的核是平凡的 在与那个上下文有关的意义上 当且仅当这个同态是单射 同态基本定理 或第一同构定理 是应用于核所定义的商代数的采用了各种形式的一个定理 目录 1 例子纵览 1 1 线性算子 1 2 群同态 1 3 环同态 1 4 幺半群同态 2 泛代数例子纵览 编辑线性算子 编辑 设 V 和 W 是向量空间并设 T 是从 V 到 W 的线性变换 如果0W 是 W 的零向量 则 T 的核是单元素集合 0W 的前像 就是说 V 的由被 T 映射到元素 0W 的那些 V 的元素构成的子集 核通常指示为 ker T 或者 k e r T v V T v 0 W displaystyle mathop mathrm ker T mathbf v in V T mathbf v mathbf 0 W mbox 因为线性变换保持零向量 V 的零向量0V 必须属于核 变换 T 是单射的 当且仅当它的核只是单元素集合 0V ker T 显然总是 V 的子空间 因此 它使谈论商空间 V ker T 有意义 对向量空间的第一同构定理声称这个商空间自然同构于 T 的像 它是 W 的子空间 作为结论 V 的维度等于核的维度加上像的维度 如果 V 和 W 是有限维的向量空间 并且基已经选择好了 则 T 可以用矩阵 M 描述 而这个核可以通过解齐次线性方程组 Mv 0 来计算 在这种表示中 核对应于 M 的零空间 零空间的维度叫做 M 的零化度 nullity 由 M 的纵列数减去 M 的秩得到 这是秩 零化度定理的结论 解齐次微分方程经常涉及计算特定微分算子的核 例如 为了找到从实数轴到自身的所有二次可微函数 f 使得 x f x 3f x f x 设 V 是二次可微函数的空间 设 W 是所有函数的空间 定义从 V 到 W 的线性算子 T 为 T f x x f x 3f x f x 对于在 V 中的 f 而 x 是任意实数 这个微分方程的所有解都在 ker T 中 你可以用类似方式定义在环之上的模之间的同态的核 这包括了在阿贝尔群之间的同态的核作为特殊情况 这个例子捕捉了在一般阿贝尔范畴内的核的本质 参见核 范畴论 群同态 编辑 设 G 和 H 是群并设 f 是从 G 到 H 的群同态 如果 eH 是 H 的单位元 则 f 的核是单元素集合 eH 的前像 就是说 G 的由被 f 映射到元素 eH 的所有 G 的元素构成的子集 核通常指示为 ker f 或者 k e r f g G f g e H displaystyle mathop mathrm ker f g in G f g e H mbox 因为群同态保持单位元素 G 的单位元素 eG 必须属于这个核 同态 f 是单射 当且仅当它的核只是单元素集合 eG ker f 明显不只是 G 的子群 实际上还是正规子群 因此它使谈论商群 G ker f 有意义 群的第一同构定理声称这个商群自然同构于 f 的像 它是 H 的子群 在阿贝尔群的特殊情况下 这以同前面章节的完全同样的方式工作 环同态 编辑 幺半群同态 编辑泛代数 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 核 代数 amp oldid 59975227, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,