旋轉群

  本條目介紹的是旋轉群SO(3)；關於更一般性的SO(n)，參見特殊正交群。

在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。

兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。

長度與角度

除了保持長度（保長），旋轉也保持向量間的角度（保角）。原因是兩向量u和v的內積可寫作：

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$ 

R³中的保長轉換保持了純量內積值不變，也因此保持了向量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形，參見古典群。

旋轉軸

主条目：軸角

三維空間中非平凡的旋轉，皆繞著一個固定的「旋轉軸」，此旋轉軸是R³的特定一維線性子空間（參見：歐拉旋轉定理）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說，繞著正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為

${\displaystyle R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$ 

給定R³中一單位向量n以及角度φ，設R(φ, n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉，則：

• R(0, n)為相等轉換（identity transformation），n任意單位向量；
• R(φ, n) = R(−φ, −n)；
• R(π + φ, n) = R(π − φ, −n)。

利用這些特性，參數為旋轉角φ（範圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位向量n的任意旋轉有如下性質：

• 若φ = 0，n可為任意單位向量；
• 若0 < φ < π，n為特定單位向量；
• 若φ = π，n為彼此反向的兩特定單位向量；亦即，旋轉R(π, ±n)是等價的。

有限子群

SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：

• C_k：绕一条直线转过角度2π/k的倍数的旋转的循环群
• D_k：正k边形的二面体群
• T：将正四面体映为自身的十二个旋转四面體群
• O：立方体或正八面体旋转的24阶八面體群
• I：正十二面体或正二十面体的60个旋转的二十面體群

相關條目

• 旋轉
• 正交群
• 歐拉角
• 定向纏結
• 四元數與空間旋轉
• 剛體
• 球諧函數

參考文獻