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驴桥定理

一月 12, 2023

驢橋定理（拉丁語：Pons asinorum），也稱為等腰三角形定理，是在欧几里得几何中的一個數學定理，是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。此定理出現在欧几里得的幾何原本第一卷命題五。

Byrne版幾何原本中，驢橋定理的內容，有列出部份欧几里得的證明

有關其名稱驢橋定理的由來有二種：一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋；另外一種較為大家接受的說法，則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試，並且做為後續更困難命題的橋樑[1]。幾何學是列在中世紀的四術之中，驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻，也稱之為「笨蛋的難關」[2]，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何，驢橋定理一詞已變成了一種隱喻，暗示對能力或了解程度的關鍵測試，可以區分了解及不了解的人[3]。

證明

欧几里得的證明

 
欧几里得幾何原本第一卷的命題五

欧几里得的證明包括第二個結論，就是若三角形的二腰延伸超過底邊，則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。欧几里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線，但當時的數學家普罗克鲁斯指出他沒有用到第二個結論，而且若在三角形內部繪輔助線，會使證明比較簡單。欧几里得的證明用到稱為SAS的三角形全等，是幾何原本中的上一個命題。[4]

其他證明方式

 
人教版數學教科書證明

在教科書（例如人教版數學教科書在八年級“軸對稱”一章）上常見的作法是作頂角A的角平分線[5]。此證明方式比歐幾里德的簡單，但在幾何原本中命題9才是作角平分線[6]，因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線，會有循環論證的問題。

其證明如下：

  1. 令三角形為ABC，其中線段AB = 線段AC。
  2. 作角BAC的角平分線，和線BC交與X點。
  3. 線段AB = 線段AC，線段AX和自身等長，而且角BAX = 角CAX，因此依照SAS全等，三角形BAX和CAX全等，因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《几何原理（英语：Éléments de géométrie）》用了一個類似的方式證明，不過令X是線段BC的中點[7]。其證明方式類似，但是會用到SSS全等，而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 则三角形ABC与ACB全等(SSS), 故三角形ABC 两底角相等 Q.E.D. 在约1960年，赫伯特·吉伦特（英语：Herbert Gelernter）编写的程序也得到了相同的证明。[8]

用作隱喻的驢橋定理

  • 十四世紀作家理查德·昂格維爾（英语：Richard Aungerville）在《書之愛（英语：Philobiblon）》中將驴桥定理比擬為沒有梯子輔助的陡峭山坡，感歎多少可能成為幾何學家的人因此而回頭[9]。
  • 在直言三段论中，「驢橋」作為尋找三段論中項的一個隱喻，同時有橋樑及考驗的含意在內[9]。
  • 經濟學家約翰·斯圖爾特·密爾認為David Ricardo的地租理論是經濟學中的驢橋定理[10]。
  • 驢橋也是魔術方塊中的一個特殊組態。

相關條目

  • 示播列：舊約聖經中試驗是否為以法蓮人的一句話，是用來區別一個人的社會或地區背景的指標。

參考資料

  1. ^ D.E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284
  2. ^ 吳任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通訊第四卷8,9期合刊. [2013-08-21]. （原始内容于2013-08-04）. 
  3. ^ Pons asinorum - Definition and More from the Free Merriam. [2013-08-21]. （原始内容于2010-02-20）. 
  4. ^ 第一卷命題五. [2016-07-02]. （原始内容于2016-07-10）. 
  5. ^ 例如J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) p. 20
  6. ^ 洪萬生. 驢橋定理. 科學月刊1983年4月160期. [2013-08-21]. [永久失效連結]
  7. ^ A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
  8. ^ 侯世达. 哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异壁之大成. 商务印书馆. 1996 p. 796
  9. ^ 9.0 9.1 A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" The Princeton University bulletin Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84
  10. ^ Henry Dunning Macleod The Elements of Economics (1886 D. Appleton) Vol. 2 p. 96

一月 12, 2023
驴桥定理, 驢橋定理, 拉丁語, pons, asinorum, 也稱為等腰三角形定理, 是在欧几里得几何中的一個數學定理, 是指等腰三角形二腰對應的二底角相等, 此定理出現在欧几里得的幾何原本第一卷命題五, byrne版幾何原本中, 驢橋定理的內容, 有列出部份欧几里得的證明, 有關其名稱驢橋定理的由來有二種, 一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋, 另外一種較為大家接受的說法, 則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試, 並且做為後續更困難命題的橋樑, 幾何學是列在中世紀的四術之中, 驢橋定理是在幾何原本的前. 驢橋定理 拉丁語 Pons asinorum 也稱為等腰三角形定理 是在欧几里得几何中的一個數學定理 是指等腰三角形二腰對應的二底角相等 此定理出現在欧几里得的幾何原本第一卷命題五 Byrne版幾何原本中 驢橋定理的內容 有列出部份欧几里得的證明 有關其名稱驢橋定理的由來有二種 一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋 另外一種較為大家接受的說法 則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試 並且做為後續更困難命題的橋樑 1 幾何學是列在中世紀的四術之中 驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題 是數學能力的一個門檻 也稱之為 笨蛋的難關 2 無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題 無論其名稱的由來為何 驢橋定理一詞已變成了一種隱喻 暗示對能力或了解程度的關鍵測試 可以區分了解及不了解的人 3 目录 1 證明 1 1 欧几里得的證明 1 2 其他證明方式 2 用作隱喻的驢橋定理 3 相關條目 4 參考資料證明 编辑欧几里得的證明 编辑 欧几里得幾何原本第一卷的命題五 欧几里得的證明包括第二個結論 就是若三角形的二腰延伸超過底邊 則二腰延長線和底邊的夾角也會相等 欧几里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線 但當時的數學家普罗克鲁斯指出他沒有用到第二個結論 而且若在三角形內部繪輔助線 會使證明比較簡單 欧几里得的證明用到稱為SAS的三角形全等 是幾何原本中的上一個命題 4 其他證明方式 编辑 人教版數學教科書證明 在教科書 例如人教版數學教科書在八年級 軸對稱 一章 上常見的作法是作頂角A的角平分線 5 此證明方式比歐幾里德的簡單 但在幾何原本中命題9才是作角平分線 6 因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線 會有循環論證的問題 其證明如下 令三角形為ABC 其中線段AB 線段AC 作角BAC的角平分線 和線BC交與X點 線段AB 線段AC 線段AX和自身等長 而且角BAX 角CAX 因此依照SAS全等 三角形BAX和CAX全等 因此可得角B和角C相等 勒讓德在 几何原理 英语 Elements de geometrie 用了一個類似的方式證明 不過令X是線段BC的中點 7 其證明方式類似 但是會用到SSS全等 而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等 帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明 等腰三角形ABC中 AB AC BC CB CA BA 则三角形ABC与ACB全等 SSS 故三角形ABC 两底角相等 Q E D 在约1960年 赫伯特 吉伦特 英语 Herbert Gelernter 编写的程序也得到了相同的证明 8 用作隱喻的驢橋定理 编辑十四世紀作家理查德 昂格維爾 英语 Richard Aungerville 在 書之愛 英语 Philobiblon 中將驴桥定理比擬為沒有梯子輔助的陡峭山坡 感歎多少可能成為幾何學家的人因此而回頭 9 在直言三段论中 驢橋 作為尋找三段論中項的一個隱喻 同時有橋樑及考驗的含意在內 9 經濟學家約翰 斯圖爾特 密爾認為David Ricardo的地租理論是經濟學中的驢橋定理 10 驢橋也是魔術方塊中的一個特殊組態 相關條目 编辑示播列 舊約聖經中試驗是否為以法蓮人的一句話 是用來區別一個人的社會或地區背景的指標 參考資料 编辑 D E Smith History of Mathematics 1958 Dover p 284 吳任哲 利用 驢橋定理 探討國中教師之數學教學 HPM通訊第四卷8 9期合刊 2013 08 21 原始内容存档于2013 08 04 Pons asinorum Definition and More from the Free Merriam 2013 08 21 原始内容存档于2010 02 20 第一卷命題五 2016 07 02 原始内容存档于2016 07 10 例如J M Wilson Elementary geometry 1878 Oxford p 20 洪萬生 驢橋定理 科學月刊1983年4月160期 2013 08 21 永久失效連結 A M Legendre Elements de geometrie 1876 Libr de Firmin Didot et Cie p 14 侯世达 哥德尔 艾舍尔 巴赫 集异壁之大成 商务印书馆 1996 p 796 9 0 9 1 A F West amp H D Thompson On Dulcarnon Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions The Princeton University bulletin Vol 3 No 4 1891 p 84 Henry Dunning Macleod The Elements of Economics 1886 D Appleton Vol 2 p 96 取自 https zh wikipedia org w index php title 驴桥定理 amp oldid 70174652, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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