马施克定理

在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。

Heinrich Maschke

定理

若${\displaystyle V}$ 是域${\displaystyle K}$ 上的有限维线性空间，${\displaystyle (V,\rho )}$ 是有限群${\displaystyle G}$ 的表示, ${\displaystyle U_{0}}$ 是${\displaystyle V}$ 的${\displaystyle G}$ 不变子空间, ${\displaystyle K}$ 的特征不能整除${\displaystyle G}$ 的阶，

则存在${\displaystyle V}$ 中的${\displaystyle G}$ 不变子空间${\displaystyle W}$ ，使得${\displaystyle V=W\oplus U}$ ，从而${\displaystyle (V,\rho )}$ 是完全可约的。

证明

${\displaystyle U_{0}}$ 是${\displaystyle V}$ 的子空间，所以存在${\displaystyle U_{0}}$ 在${\displaystyle V}$ 中的补空间${\displaystyle W_{0}}$ ，及投影${\displaystyle P_{0}}$ , ${\displaystyle Q_{0}}$ ，使得

${\displaystyle U_{0}=P_{0}V}$ 

${\displaystyle W_{0}=Q_{0}V}$ 

${\displaystyle P_{0}^{2}-P_{0}=Q_{0}^{2}-Q_{0}=P_{0}Q_{0}=Q_{0}P_{0}=0}$ 

${\displaystyle P_{0}+Q_{0}=1}$ 

由条件“${\displaystyle K}$ 的特征不能整除${\displaystyle G}$ 的阶”，令${\displaystyle N=|G|}$ ，则${\displaystyle N}$ 是域K中的可逆元。

定义新的投影算子

${\displaystyle P=N^{-1}\sum _{g\in G}gP_{0}g^{-1}}$ 

${\displaystyle Q=N^{-1}\sum _{g\in G}gQ_{0}g^{-1}}$ 

则

${\displaystyle P+Q=1}$ 

${\displaystyle P^{2}=P}$ 

${\displaystyle Q^{2}=Q}$ 

${\displaystyle PQ=QP=0}$ 

于是

${\displaystyle V=U\oplus W}$ 

其中 ${\displaystyle U={\textrm {Im}}{P}}$ ， ${\displaystyle W={\textrm {Im}}{Q}}$ 

由${\displaystyle P}$ 的定义 ${\displaystyle U={\textrm {Im}}P\subseteq U_{0}}$ 

另一方面可以直接验证 ${\displaystyle \forall u=P_{0}v\in U_{0},Qu=QP_{0}v=0}$  从而 ${\displaystyle U_{0}\subseteq {\textrm {Ker}}Q={\textrm {Im}}P=U}$ 

故 ${\displaystyle U=U_{0}}$ 

${\displaystyle V=U_{0}\oplus W}$ 

注意到${\displaystyle \forall g\in G,gQ=Qg}$ 

${\displaystyle W}$ 是${\displaystyle G}$ 不变子空间。

证毕。

参考

• 《有限群和紧群的表示论》，丘维声，北京大学出版社，第一版，1997年12月，第27页。