阿贝尔求和公式

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。

恒等式

设${\displaystyle a_{n}}$ 为一列由实数或複數，${\displaystyle \phi }$ 是一個連續可導函数，则

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u}$ 

其中${\displaystyle A(x)}$ 是部分和

${\displaystyle A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.}$ 

而且这正是對黎曼－斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情況，有

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}$ 

例

欧拉-马斯刻若尼常数

设${\displaystyle a_{n}=1}$ ，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}}$ ，則${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$ ，恆等式變為

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,}$ 

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

设${\displaystyle a_{n}=1}$ ，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$ ，則${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$ ，故

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$ 

公式在${\displaystyle \Re (s)>1}$ 時成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其斷言，若以${\displaystyle \zeta }$ 表示黎曼ζ函数，則${\displaystyle \zeta (s)}$ 在s = 1處有留数为1的简单極點。

黎曼ζ函数的倒数

设${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$ ，${\displaystyle \mu }$ 為默比乌斯函数，且${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$ ，則${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$ ，故${\displaystyle A}$ 為梅滕斯函数，而恆等式變成

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$ 

上式在${\displaystyle \Re (s)>1}$ 時成立。

参见

• 分部积分法
• 黎曼ζ函数

参考文献

• Apostol, Tom, Introduction to Analytic Number Theory, 数学大学生教材, Springer-Verlag, 1976 .