Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7
二月 05, 2023
迭代函数, 在数学中, 是在碎形和动力系统中深入研究的对象, 是重复的与自身复合的函数, 这个过程叫做迭代, 目录, 定义, 从迭代建立序列, 不动点, 极限行为, 例子, 参见, 引用定义在集合, displaystyle, 上的的形式定义为, displaystyle, 是集合和, displaystyle, rightarrow, 是函数, 定义, displaystyle, displaystyle, 次迭代, displaystyle, displaystyle, operatorname, displa. 在数学中 迭代函数 1 是在碎形和动力系统中深入研究的对象 迭代函数是重复的与自身复合的函数 这个过程叫做迭代 目录 1 定义 2 例 3 从迭代建立序列 4 不动点 5 极限行为 6 例子 7 参见 8 引用定义在集合 X displaystyle X 上的迭代函数的形式定义为 设 X displaystyle X 是集合和 f X X displaystyle f X rightarrow X 是函数 定义 f displaystyle f 的 n displaystyle n 次迭代 f n displaystyle f n 为 f 0 id X displaystyle f 0 operatorname id X 而 f n 1 f f n displaystyle f n 1 f circ f n 这里的 id X displaystyle operatorname id X 是在 X displaystyle X 上的恒等函数 在上述中 f g displaystyle f circ g 指示函数复合 就是说 f g x f g x displaystyle f circ g x f g x 換句話說 迭代函数也可以表示為以下的形式 f n x f f f f f n x displaystyle f n x underbrace f f f f f n x f 0 x displaystyle f 0 x 定義為x displaystyle x f n x displaystyle f n x 定義為f n x displaystyle f n x 的反函數 如果f n x displaystyle f n x 的反函數不存在 則f n x displaystyle f n x 也不存在 因此 f 1 x displaystyle f 1 x 就是f x displaystyle f x f 2 x displaystyle f 2 x 是f f x displaystyle f f x f 0 x displaystyle f 0 x 是恆等函數x displaystyle x f 1 x displaystyle f 1 x 是f x displaystyle f x 的反函數 如果存在的話 而f 1 2 x displaystyle f frac 1 2 x 就是能夠使得合成函數g g x displaystyle g g x 正好是f x displaystyle f x 的函數g x displaystyle g x 注意 一般情況下 f n x displaystyle f n x 並不等於 f x n displaystyle f x n 或f x n displaystyle f x n 而例如sin 1 x displaystyle sin 1 x 是sin x displaystyle sin x 的反函數 亦即arcsin x displaystyle arcsin x 而不是1 sin x csc x displaystyle frac 1 sin x csc x 例一些特殊函數的冪次為 其中a displaystyle a b displaystyle b n displaystyle n 可為任意複數 亦即a b n C displaystyle a b n in mathbb C f x a displaystyle f x a f n x a if n R n gt 0 f n x x if n 0 displaystyle f n x a text if n in mathbb R land n gt 0 f n x x text if n 0 在n displaystyle n 是負實數或虛數的時候並沒有定義 就好比0 n displaystyle 0 n 在n displaystyle n 是負實數或虛數的時候也沒有定義 f x x a displaystyle f x x a f n x x n a displaystyle f n x x na f x a x displaystyle f x ax f n x a n x displaystyle f n x a n x f x x a displaystyle f x x a f n x x a n displaystyle f n x x a n 注意迭代冪次要由右往左算 f x a x b displaystyle f x ax b f n x a n x a n 1 a 1 b displaystyle f n x a n x frac a n 1 a 1 b a 1 displaystyle a neq 1 f x b x a displaystyle f x bx a f n x b a n 1 a 1 x a n displaystyle f n x b frac a n 1 a 1 x a n a 1 displaystyle a neq 1 注意任何非零複數的任何複數次方都有定義 a n e n ln a e Re n ln a cos Im n ln a i sin Im n ln a displaystyle a n e n ln a e text Re n ln a cos text Im n ln a i sin text Im n ln a 當a displaystyle a 為負實數或虛數時 ln a ln a i arg a displaystyle ln a ln a i text arg a 其中 a displaystyle a 為複數a displaystyle a 的絕對值 arg a displaystyle text arg a 為複數a displaystyle a 的主幅角 Re a displaystyle text Re a 為複數a displaystyle a 的實部 Im a displaystyle text Im a 為複數a displaystyle a 的虛部 函數冪亦有類似指數律的定理 其中m displaystyle m n displaystyle n 可為任意複數 亦即m n C displaystyle m n in mathbb C f m f n x f m n x displaystyle f m f n x f m n x f m n x f m n x displaystyle f m n x f mn x 注意函數的合成是不可交換的 g f x displaystyle gf x 並不一定等於f g x displaystyle fg x 但因為可結合 h g f x displaystyle h gf x 一定等於 h g f x displaystyle hg f x 所以會符合冪結合性 因此這兩條 函數冪的指數律 並沒有任何問題 這跟例如指數拓展到次方為負整數 分數 無理數 複數 以及階乘運算跟排列組合運算P n m displaystyle P n m C n m displaystyle C n m 拓展到非整數和負數時 使用伽瑪函數 一樣 二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數 分數 無理數 複數 只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已 包括矩陣的n displaystyle n 次方以及微分n displaystyle n 次 n displaystyle n 為負整數時等同於積分 n displaystyle n 次 也都可以用這種方式 把n displaystyle n 拓展到任意複數 或例如已知 首項 公差 公比 項數 的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式 也都可以用這種方式 拓展到項數為負整數 分數 無理數 複數的情況 包括一般的 x m n f x displaystyle sum x m n f x 與 x m n f x displaystyle prod x m n f x 中 f x displaystyle f x 為常見的函數如多項式函數 指數函數 對數函數 三角函數的時候 m displaystyle m 跟n displaystyle n 也能拓展到任意複數 就跟積分式 m n f x displaystyle int m n f x 一樣 至於超運算a n b displaystyle a n b 能不能拓展到分數 無理數或複數 則是數學中未解決的問題之一 从迭代建立序列函数 f n displaystyle f n 的序列叫做 Picard 序列 得名于埃米尔 皮卡 对于一个给定 x X displaystyle x in X f n x displaystyle f n x 的值的序列叫做 x displaystyle x 的轨道 如果对于某个整数 m displaystyle m 有 f n x f n m x displaystyle f n x f n m x 则轨道叫做周期轨道 对于给定 x displaystyle x 最小的这种 m displaystyle m 值叫做轨道的周期 点 x displaystyle x 自身叫周期点 不动点如果m 1 就是说如果对于某个X中的x有f x x 则x被称为迭代序列的不动点 不动点的集合经常指示为Fix f 存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性 包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理 有很多技术通过不动点迭代 英语 Fixed point iteration 产生了序列收敛加速 例如 应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法 生成二次收敛 不动点理论同样也适用于经济学领域 极限行为通过迭代 可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合 在这种情况下 会聚到的这个点叫做吸引不动点 反过来说 迭代也可以表现得从一个单一点发散 这种情况叫不稳定不动点 当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候 轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 w 极限集合 吸引和排斥的想法类似推广 依据在迭代下小邻域行为 可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合 其他极限行为也有可能 比如 游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点 例子著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统 如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用 则迭代函数对应于自由群 参见旋转数 英语 Rotation number Sarkovskii定理 英语 Sharkovskii s theorem 引用 疊代iteration 國家教育研究院辭書資訊網 2021 11 07 原始内容存档于2021 11 08 名詞解釋 指重複的一序列指令或事件 如程式的迴圈 Vasile I Istratescu Fixed Point Theory An Introduction D Reidel Holland 1981 ISBN 90 277 1224 7 取自 https zh wikipedia org w index php title 迭代函数 amp oldid 72897645, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,