辐角原理

在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数，且 f 在 C 上没有零点或极点，则下列公式成立

围道 C（黑色），f 的零点（蓝色）以及 f 的极点（红色）。

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}$

这里 N 与 P 分别表示 f(z) 在围道 C 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 C 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设 C 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 Ω 中可缩为一点。对每个 z ∈ Ω，令 n(C,z) 是 C 绕点 z 的卷绕数。则

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),}$

这里第一个求和对 f 所有零点 a 进行并计重数，第二个求和在 f 的所有极点 b 上进行。

证明

设 z_N 是 f 的一个零点。我们可将 f 写成 f(z) = (z − z_N)^kg(z) 这里 k 是零点的重数，从而 g(z_N) ≠ 0。我们有

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!}$ 

以及

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.}$ 

因 g(z_N) ≠ 0，故 g′(z)/g(z)在 z_N 没有奇点，从而在 z_N 解析，这意味着 f′(z)/f(z) 在 z_N 的留数是 k。

设 z_P 是 f 的一个极点。我们可写成 f(z) = (z − z_P)^−mh(z) 这里 m 是极点的阶数，从而 h(z_P) ≠ 0。我们有

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$ 

以及

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$ 

因为 h(z_P) ≠ 0，故 h′(z)/h(z) 在 z_P 没有奇点，从而在 z_P 解析。我们发现 f′(z)/f(z) 在 z_P 的留数是 −m。

将它们放在一起，f 的每个 k 重零点 z_N 产生 f′(z)/f(z) 的一个留数为 k 的单极点，而 f 的每个 m 阶极点 z_P 产生 f′(z)/f(z) 的一个留数为 −m 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 f′(z)/f(z) 没有其它极点，从而没有其它留数。

由留数定理我们有关于 C 的积分是 2πi 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 z_N 的 k 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

推论

假设 C 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 f(z) 关于 0 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 f′(z)/f(z) 在 C 上的积分是 log f(z) 值的变化。因为 C 是闭的我们只需考虑 ${\displaystyle i}$  arg f(z) 在 C 上的变化，它将是 2π${\displaystyle i}$  的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理

${\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}$ 

约去因子 2${\displaystyle \pi i}$ ，我们得到

${\displaystyle N-P=I(C,0)\,\!}$ 

这里 I(C,0) 表示 f 在 C 上关于 0 的卷绕数。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 g 是 Ω 中一个解析函数，则

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$ 

例如，如果 f 是以一个简单围道 C 内部 z₁, ..., z_p 为零点的多项式，以及g(z) = z^k，则

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}$ 

是 f 的根的次方和對稱多項式。

另一个推论是如果我们计算复积分：

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,}$ 

对一个合适的f，我们有阿贝尔-普兰纳公式（英语：Abel–Plana_formula）：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,}$ 

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

历史

按照弗兰克·史密西斯一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

应用

反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。

参考文献

• Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Argument Principle. MathWorld. 
• An Illustration of the Argument Principle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

相关条目

• 儒歇定理
• 路径积分
• 奈奎斯特稳定性判据
• 奥古斯丁·路易·柯西