自旋-軌道作用

在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（英語：Spin–orbit interaction），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

電子的自旋-軌道作用

在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

磁場

雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame) ，並沒有作用在電子上的磁場；在電子的靜止參考系，有作用在電子上的磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論^[1]，磁場 ${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$  是

${\displaystyle \mathbf {B} =-\,{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\,\!}$  ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$  是電子的速度，${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$  是電子運動經過的電場，${\displaystyle c\,\!}$  是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\mathbf {r} \,\!}$  ；

其中，${\displaystyle Z\,\!}$  是質子數量（原子序數），${\displaystyle e\,\!}$  是單位電荷量，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$  是真空電容率，${\displaystyle {\hat {r}}\,\!}$  是徑向單位向量，${\displaystyle r\,\!}$  是徑向距離，徑向向量 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$  是電子的位置。

電子的動量 ${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$  是

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!}$  ；

其中，${\displaystyle m\,\!}$  是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {L} \,\!}$  ；(2)

其中，${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$  是角動量，${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$  。

${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$  是一個正值因子乘以 ${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$  ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

磁矩

電子自旋的磁矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$  是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\gamma \,\mathbf {S} \,\!}$  ；

其中，${\displaystyle \gamma ={\frac {g_{s}q_{e}}{2m}}\,\!}$  是迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio) ，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$  是自旋角动量，${\displaystyle g_{s}\,\!}$  是電子自旋g因數，${\displaystyle q_{e}\,\!}$  是電荷量。

電子的g-因數（g-factor）是 ${\displaystyle 2\,\!}$  ，電荷量是 ${\displaystyle -e\,\!}$  。所以，

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e}{m}}\mathbf {S} \,\!}$  。(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

哈密頓量微擾項目

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

${\displaystyle H'=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}$  。

代入 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}$  的公式 (3) 和 ${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$  的公式(2)，經過一番運算，可以得到

${\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}$ 

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession) 。因為這效應，必須添加因子 ${\displaystyle 1/2\,\!}$  在公式裏。所以，

${\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}$  。

能級位移

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 ${\displaystyle H_{0}\,\!}$  的本徵函數形成的基底，使 ${\displaystyle H'\,\!}$  能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符 ${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$  ：

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!}$  。

總角動量算符與自己的內積是

${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}$  。

所以，

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})\,\!}$  。

請注意 ${\displaystyle H'\,\!}$  與 ${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$  互相不對易， ${\displaystyle H'\,\!}$  與 ${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$  互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，${\displaystyle H_{0}\,\!}$  與 ${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$  的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 ${\displaystyle E^{(1)}\,\!}$  。${\displaystyle H_{0}\,\!}$  與 ${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$  的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 ${\displaystyle E^{(1)}\,\!}$  。可是， ${\displaystyle H'\,\!}$  、${\displaystyle J^{2}\,\!}$  、${\displaystyle L^{2}\,\!}$  、${\displaystyle S^{2}\,\!}$  ，這四個算符都互相對易。${\displaystyle H_{0}\,\!}$  、${\displaystyle J^{2}\,\!}$  、${\displaystyle L^{2}\,\!}$  、${\displaystyle S^{2}\,\!}$  ，這四個算符也都互相對易。所以，${\displaystyle H_{0}\,\!}$  、${\displaystyle J^{2}\,\!}$  、${\displaystyle L^{2}\,\!}$  、${\displaystyle S^{2}\,\!}$  ，這四個算符的共同本徵函數 ${\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!}$  可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 ${\displaystyle E_{n}^{(1)}\,\!}$  ；其中， ${\displaystyle n\,\!}$  是主量子數，${\displaystyle j\,\!}$  是總角量子數，${\displaystyle l\,\!}$  是角量子數，${\displaystyle s\,\!}$  是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 ${\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!}$  的 ${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}$  的期望值是

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}$ ；

其中，電子的自旋 ${\displaystyle s=1/2\,\!}$  。

經過一番繁瑣的運算^[2]，可以得到 ${\displaystyle r^{-3}\,\!}$  的期望值

${\displaystyle \langle n,j,l,s\,|\,r^{-3}\,|\,n,j,l,s\rangle ={\frac {2Z^{3}}{a_{0}^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}\,\!}$  是波耳半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是

${\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}$  。

經過一番運算，可以得到

${\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle E_{n}^{(0)}={\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}}\,\!}$  是主量子數為 ${\displaystyle n\,\!}$  的零微擾能級。

特別注意，當 ${\displaystyle l=0\,\!}$  時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 ${\displaystyle j(j+1)-l(l+1)-3/4=0\,\!}$  也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 ${\displaystyle l=0\,\!}$  時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來，${\displaystyle l=0\,\!}$  球諧函數是

${\displaystyle Y_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,\!}$  ，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 ${\displaystyle l=0\,\!}$  軌道沒有自旋-軌道作用。

參閱

• 斯塔克效應
• 塞曼效應
• 超精細結構
• 蘭姆位移

參考文獻

1. French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968: pp. 237–250. ISBN 0748764224.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• E. U. Condon and G. H. Shortley. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. 1935. ISBN 0-521-09209-4. 

外部連結

• 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：