索菲·熱爾曼質數

若質數${\displaystyle p}$為索菲·熱爾曼質數，則${\displaystyle 2p+1}$亦為質數。與索菲·熱爾曼質數p相聯繫之質數${\displaystyle 2p+1}$則稱之為安全素数。舉例來說，29為一索菲·熱爾曼質數，2×29+1=59則為其對應的安全質數。索菲·熱爾曼證明了費馬最後定理對於這類質數為真。且若${\displaystyle x,y,z}$均為整數，在${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$這式子內，必有一項能被${\displaystyle 2p+1}$整除。

是否存在無限個索菲熱爾曼質數仍屬猜想。

從1到10000共有190個索菲熱爾曼質數（OEIS數列A005384）：

2	3	5	11	23	29	41	53	83	89	113	131
173	179	191	233	239	251	281	293	359	419	431	443
491	509	593	641	653	659	683	719	743	761	809	911
953	1013	1019	1031	1049	1103	1223	1229	1289	1409	1439	1451
1481	1499	1511	1559	1583	1601	1733	1811	1889	1901	1931	1973
2003	2039	2063	2069	2129	2141	2273	2339	2351	2393	2399	2459
2543	2549	2693	2699	2741	2753	2819	2903	2939	2963	2969	3023
3299	3329	3359	3389	3413	3449	3491	3539	3593	3623	3761	3779
3803	3821	3851	3863	3911	4019	4073	4211	4271	4349	4373	4391
4409	4481	4733	4793	4871	4919	4943	5003	5039	5051	5081	5171
5231	5279	5303	5333	5399	5441	5501	5639	5711	5741	5849	5903
6053	6101	6113	6131	6173	6263	6269	6323	6329	6449	6491	6521
6551	6563	6581	6761	6899	6983	7043	7079	7103	7121	7151	7193
7211	7349	7433	7541	7643	7649	7691	7823	7841	7883	7901	8069
8093	8111	8243	8273	8513	8663	8693	8741	8951	8969	9029	9059
9221	9293	9371	9419	9473	9479	9539	9629	9689	9791

已发现的最大的索菲·熱爾曼質數

PrimeGrid計劃（英语：PrimeGrid）於2016年3月發現了截至目前為止最大的索菲·熱爾曼質數，2618163402417×2^1290000 − 1，此數共有388342位。^[1]

特性

索菲熱爾曼質數永不會以7為個位數。證明：

反證法：假設存在個位數為7的質數p，將它表達成p=10k+7。根據索菲熱爾曼質數的性質，${\displaystyle 2p+1}$ 亦是質數，但${\displaystyle 2p+1=2(10k+7)+1=20k+15=5(4k+3)}$ ，${\displaystyle 2p+1}$ 能被5整除，而且大於5，所以，是合成數，矛盾。

和梅森數的關係

若${\displaystyle p>3}$ ，${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ ，且p為索菲熱爾曼質數，2p+1是梅森數${\displaystyle M_{p}}$ 的因數。

出現頻率

1922年，哈代和李特爾伍德，猜測了以下估計索菲熱爾曼質數頻率的公式：

${\displaystyle {2Cx \over \ln ^{2}(x)}}$ 

且${\displaystyle C\approx 0.6601618158}$ ，C是孿生質數常數。

坎寧安鏈

數列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非熱爾曼質數稱為第一類坎寧安鏈。除了首尾之外，這個數列中的項均同時為索非熱爾曼質數和安全質數。

參考

• http://goodprimes.eu5.org/TSophie1.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. The Prime Database: 2618163402417×2^1290000 - 1. [2016-06-07]. （原始内容于2021-04-23）.