法图引理, 在测度论中, 说明了一个函数列的下极限的积分, 在勒贝格意义上, 和其积分的下极限的不等关系, 的名称来源于法国数学家皮埃尔, 法图, pierre, fatou, 被用来证明测度论中的法图, 勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理, 目录, 叙述, 证明, 反向, 推广, 推广到任意实值函数, 逐点收敛, 依测度收敛, 外部链接, 参考来源叙述, 编辑设, displaystyle, sigma, nbsp, 为一个测度空间, displaystyle, nbsp, 是一个实值的可测正值函数列, 那么, di. 在测度论中 法图引理说明了一个函数列的下极限的积分 在勒贝格意义上 和其积分的下极限的不等关系 法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔 法图 Pierre Fatou 被用来证明测度论中的法图 勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理 目录 1 叙述 2 证明 3 反向法图引理 4 推广 4 1 推广到任意实值函数 4 2 逐点收敛 4 3 依测度收敛 5 外部链接 6 参考来源叙述 编辑设 S S m displaystyle S Sigma mu nbsp 为一个测度空间 f n n 0 displaystyle f n n geq 0 nbsp 是一个实值的可测正值函数列 那么 S lim inf n f n d m lim inf n S f n d m displaystyle int S liminf n to infty f n d mu leq liminf n to infty int S f n d mu nbsp 其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限 函数的取值和积分可以是无穷大 证明 编辑定理的证明基于单调收敛定理 非常容易证明 设f displaystyle f nbsp 为函数列 f n n 0 displaystyle f n n geq 0 nbsp 的下极限 对每个正整数k displaystyle k nbsp 逐点定义下极限函数 g k inf n k f n displaystyle g k inf n geq k f n nbsp 于是函数列g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 ldots nbsp 单调递增并趋于f displaystyle f nbsp 任意k n displaystyle k leq n nbsp 我们有g k f n displaystyle g k leq f n nbsp 因此 S g k d m S f n d m displaystyle int S g k d mu leq int S f n d mu nbsp 于是 S g k d m inf n k S f n d m displaystyle int S g k d mu leq inf n geq k int S f n d mu nbsp 据此 由单调收敛定理以及下极限的定义 就有 S lim inf n f n d m lim k S g k d m lim k inf n k S f n d m lim inf n S f n d m displaystyle int S liminf n to infty f n d mu lim k to infty int S g k d mu leq lim k to infty inf n geq k int S f n d mu liminf n to infty int S f n d mu nbsp 反向法图引理 编辑令 f n displaystyle f n nbsp 为测度空间 S S m displaystyle S Sigma mu nbsp 中的一列可测函数 函数的值域为扩展实数 包括无穷大 如果存在一个在 S displaystyle S nbsp 上可积的正值函数g displaystyle g nbsp 使得对所有的n displaystyle n nbsp 都有f n g displaystyle f n leq g nbsp 那么 S lim sup n f n d m lim sup n S f n d m displaystyle int S limsup n to infty f n d mu geq limsup n to infty int S f n d mu nbsp 这里g displaystyle g nbsp 只需弱可积 即 S g d m lt displaystyle textstyle int S g d mu lt infty nbsp 证明 对函数列 g f n displaystyle g f n nbsp 应用法图引理即可 推广 编辑推广到任意实值函数 编辑 法图引理不仅对取正值的函数列成立 在一定限制条件下 可以扩展到任意的实值函数 令 f n n 0 displaystyle f n n geq 0 nbsp 为测度空间 S S m displaystyle S Sigma mu nbsp 中的一列可测函数 函数的值域为扩展实数 包括无穷大 如果存在一个在S displaystyle S nbsp 上可积的正值函数g displaystyle g nbsp 使得对所有的n displaystyle n nbsp 都有f n g displaystyle f n geq g nbsp 那么证明 对函数列 f n g displaystyle scriptstyle f n g nbsp 应用法图引理即可 逐点收敛 编辑 在以上的条件下 如果函数列在S displaystyle S nbsp 上m 几乎处处逐点收敛到一个函数f displaystyle scriptstyle f nbsp 那么 S f d m lim inf n S f n d m displaystyle int S f d mu leq liminf n to infty int S f n d mu nbsp 证明 f displaystyle scriptstyle f nbsp 是函数列的极限 因此自然是下极限 此外 零测集上的差异对于积分值没有影响 依测度收敛 编辑 如果函数列在S displaystyle S nbsp 上依测度收敛到f displaystyle f nbsp 那么上面的命题仍然成立 证明 存在 f n displaystyle scriptstyle f n nbsp 的一个子列使得 lim k S f n k d m lim inf n S f n d m displaystyle lim k to infty int S f n k d mu liminf n to infty int S f n d mu nbsp 这个子列仍然依测度收敛到f displaystyle scriptstyle f nbsp 于是又存在这个子列的一个子列在S displaystyle S nbsp 上m 几乎处处逐点收敛到f displaystyle f nbsp 于是命题成立 外部链接 编辑法图引理 PlanetMath 参考来源 编辑H L Royden Real Analysis Prentice Hall 1988 取自 https zh wikipedia org w index php title 法图引理 amp oldid 75950553, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,