D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6
九月 25, 2023
勒贝格控制收敛定理, 勒貝格控制收斂定理也稱勒貝格受制收斂定理, 英語, lebesgue, dominated, convergence, theorem, 在数学分析和测度论中, 這個定理給予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件, 對逐点收敛的函数序列而言, 其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换, 控制收敛定理说明了, 如果逐点收敛的函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数, 控制, 即在每一點, 序列中的每個函數的绝对值都小于, 控制函數, 那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个. 勒貝格控制收斂定理也稱勒貝格受制收斂定理 英語 Lebesgue s dominated convergence theorem 在数学分析和测度论中 這個定理給予了积分运算和极限运算可以交换顺序的條件 對逐点收敛的函数序列而言 其積分運算和收敛的极限運算未必一定可以交换 控制收敛定理说明了 如果逐点收敛的函数序列中的每個函數都能被同一个勒贝格可积的函数 控制 即在每一點 序列中的每個函數的绝对值都小于 控制函數 那么函数序列的极限函数的勒贝格积分等于函数序列中每个函数的勒贝格积分的极限 勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性 在数学分析和实变函数论中有很大的应用 目录 1 叙述 2 证明 3 控制函数的必要性 4 参见 5 参考资料叙述 编辑设 S S m displaystyle S Sigma mu nbsp 为一个测度空间 f n n 0 displaystyle f n n geq 0 nbsp 是一个实值的可测函数列 如果 f n displaystyle f n nbsp 逐点收敛于一个函数f displaystyle f nbsp 并存在一个勒贝格可积的函数g L 1 displaystyle g in L 1 nbsp 使得对每个n 0 displaystyle n geq 0 nbsp 任意x S displaystyle x in S nbsp 都有 f n x g x displaystyle f n x leq g x nbsp 则 f displaystyle f nbsp 也是勒贝格可积的 f L 1 displaystyle f in L 1 nbsp S f d m S lim n f n d m lim n S f n d m displaystyle int S fd mu int S lim n to infty f n d mu lim n to infty int S f n d mu nbsp 其中的函数g displaystyle g nbsp 一般取为正值函数 函数列 f n n 0 displaystyle f n n geq 0 nbsp 的逐点收敛和 f n x g x displaystyle f n x leq g x nbsp 的性质可以减弱为m displaystyle mu nbsp 几乎处处成立 证明 编辑勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图 勒贝格定理 Fatou Lebesgue theorem 的特例 以下是一个引用法图引理的证明 由于 f displaystyle f nbsp 是 f n displaystyle f n nbsp 逐点收敛的极限 因此对其仍然有 x S f x g x displaystyle forall x in S f x leq g x nbsp 于是f L 1 displaystyle scriptstyle f in L 1 nbsp 同理 对任意的n displaystyle n nbsp 有 f f n 2 g displaystyle f f n leq 2g nbsp 以及 lim sup n f f n 0 displaystyle limsup n to infty f f n 0 nbsp 根据反向的法图引理 lim sup n S f f n d m S lim sup n f f n d m 0 displaystyle limsup n to infty int S f f n d mu leq int S limsup n to infty f f n d mu 0 nbsp 因此 由勒贝格积分的线性性和单调性 就有 S f d m S f n d m S f f n d m S f f n d m displaystyle biggl int S f d mu int S f n d mu biggr biggl int S f f n d mu biggr leq int S f f n d mu nbsp 而后者趋于0 于是定理得证 控制函数的必要性 编辑控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数 使得函数列收敛的过程能够 安全 进行 如果缺少这个条件 调换运算次序就可能会导致各种后果 下面是一个例子 定义函数f n displaystyle f n nbsp 为 对于 0 1 n displaystyle 0 frac 1 n nbsp 中的x displaystyle x nbsp f n x n displaystyle f n x n nbsp 对于 1 n 1 displaystyle frac 1 n 1 nbsp 中的x displaystyle x nbsp f n x 0 displaystyle f n x 0 nbsp 对 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 中的任意x displaystyle x nbsp 当n displaystyle n nbsp 趋于无穷大时 f n x displaystyle f n x nbsp 总趋于零 同时f n displaystyle f n nbsp 在 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 上的积分总是1 结果是 0 1 lim n f n x d x 0 1 lim n 0 1 f n x d x displaystyle int 0 1 lim n to infty f n x dx 0 neq 1 lim n to infty int 0 1 f n x dx nbsp 控制收敛定理不成立 原因是不存在可积的控制函数 定义h s u p n f n displaystyle h mathrm sup n f n nbsp 为 对 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 中每一点x displaystyle x nbsp h x sup n 0 f n x displaystyle h x sup n geq 0 f n x nbsp 那么在 1 n 1 1 n displaystyle Bigl frac 1 n 1 frac 1 n Bigl nbsp 上h x n displaystyle h x n nbsp 于是如果存在控制函数g displaystyle g nbsp 那么 g h displaystyle g geq h nbsp 但是 0 1 h x d x 1 m 1 h x d x n 1 m 1 1 n 1 1 n n d x n 1 m 1 1 n 1 displaystyle int 0 1 h x dx geq int 1 m 1 h x dx sum n 1 m 1 int left frac 1 n 1 frac 1 n right n dx sum n 1 m 1 frac 1 n 1 to infty quad nbsp 当 m displaystyle m to infty nbsp 时 也就是说g displaystyle g nbsp 不可积 由此可见 可积的控制函数是定理成立的必需条件 参见 编辑勒贝格积分 一致可积参考资料 编辑R G Bartle The Elements of Integration and Lebesgue Measure Wiley Interscience 1995 H L Royden Real Analysis Prentice Hall 1988 D Williams Probability with Martingales Cambridge University Press 1991 ISBN 0 521 40605 6 取自 https zh wikipedia org w index php title 勒贝格控制收敛定理 amp oldid 76678900, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,