毕奥-萨伐尔定律

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「${\displaystyle '\,\!}$」；源變數的標記的後面有單撇號「${\displaystyle '\,\!}$」。

在靜磁學裏，必歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關^[1]。必歐-沙伐定律是以法國物理學者让-巴蒂斯特·毕奥與菲利克斯·沙伐命名。

让-巴蒂斯特·毕奥

必歐-沙伐定律表明，假設源位置為${\displaystyle \mathbf {r} '}$的微小線元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}$有電流${\displaystyle I}$，則${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}$作用於場位置${\displaystyle \mathbf {r} }$的磁場為

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$；

其中，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} }$是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場），${\displaystyle \mu _{0}}$是磁常數。

已知電流密度${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}$，則有：

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}{r}'}$；

其中，${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{r}'}$為微小體積元素，${\displaystyle \mathbb {V} '}$是積分的體積。

在流体力学中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線（vortex line）導出的速度。

概念

必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制，用方程式表示，

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\mathbb {L} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ ；

其中，${\displaystyle I}$ 是源電流，${\displaystyle \mathbb {L} '}$ 是積分路徑，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'}$ 是源電流的微小線元素。

應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的疊加原理成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說，它們是馬克士威方程組的解答。

當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積${\displaystyle \mathbb {V} '}$ 的積分方程式：

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是電流密度，${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'}$ 是微小體積元素。

必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係，則如庫侖定律之於高斯定律。

假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用傑斐緬柯方程式。

等速運動的點電荷所產生的電場和磁場

由於點電荷的運動不能形成電流，所以，必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷${\displaystyle q}$ 以等速度${\displaystyle \mathbf {v} }$ 移動，在時間${\displaystyle t}$ 的位置為${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} t}$ 。那麼，麦克斯韦方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} }$ ；

其中，${\displaystyle \theta }$ 是${\displaystyle \mathbf {v} }$ 和${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {w} }$ 之間的夾角。

當${\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}$ 時，電場和磁場可以近似為

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi }}\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}}$ 。

這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來，稱為必歐-沙伐點電荷定律^[2]。

安培定律和高斯磁定律的導引

這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律^[1][2]。若想查閱此證明，請點選「顯示」。

證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足高斯磁定律：

首先，列出必歐-沙伐定律， ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ 。 應用一個向量恆等式， ${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)}$ ， 將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以將梯度移到積分外： ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ 。 應用一個向量恆等式， ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$ 。 所以，高斯磁定律成立： ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ 。

證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足安培定律：

首先，列出必歐-沙伐定律： ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ 。 任意兩個向量${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ 和${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$ 的叉積，取其旋度，有以下向量恆等式，： ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2})=(\mathbf {A} _{2}\cdot \nabla )\mathbf {A} _{1}-(\mathbf {A} _{1}\cdot \nabla )\mathbf {A} _{2}+\mathbf {A} _{1}(\nabla \cdot \mathbf {A} _{2})-\mathbf {A} _{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} _{1})}$ ， 取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊，稍加運算，可以得到 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{-[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ]{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\left[\nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]\right\}}$ 。 應用著名的狄拉克δ函數關係式 ${\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$ ， 可以得到 ${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{-[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ]{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right\}\\&=\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\left\{[\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right\}\\\end{aligned}}}$ 。 注意到x-分量， ${\displaystyle [\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla ']{\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=\nabla '\cdot \left[\mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right]-{\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}$ 。 由於電流是穩定的，${\displaystyle \nabla ^{'}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')=0}$ ，所以， ${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ))_{x}&=\mu _{0}J_{x}(\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathrm {d} ^{3}{r}'\nabla '\cdot \left(\mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\right)\\&=\mu _{0}J_{x}(\mathbf {r} )+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} '){\frac {x-x'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\\\end{aligned}}}$ ； 其中，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} '}$ 是一個微小源面積元素，${\displaystyle \mathbb {S} '}$ 是體積${\displaystyle \mathbb {V} '}$ 外表的閉曲面。 這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分，只與體積内所包含的被積函數，或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小，我們可以增大這體積，一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入，也就是說，電流密度等於零。這樣，就可以得到安培定律。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }$ 。

參閱

• 狹義相對論
• 向量分析
• 散度定理
• 安培律

參考文獻

1. Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義II（2）介電質、磁與感應定律. 台灣: 天下文化書. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)