曲率形式

微分几何中，曲率形式（curvature form）描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

定义

令 G 为一个李群，记 G 的李代数为 ${\displaystyle g}$ 。设 ${\displaystyle E\to B}$  为一个主 G-丛。令 ${\displaystyle \omega }$  表示 E 上一个埃雷斯曼联络（它是一个E上的 g-值 1-形式）。

那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式，定义为

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega .}$ 

这里 ${\displaystyle d}$  表示标准外导数，${\displaystyle [*,*]}$  是李括号，而 D 表示外共变导数。或者说

${\displaystyle \Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].}$ 

向量丛上的曲率形式

若 ${\displaystyle E\to B}$  是一个纤维丛，其结构群为 G，我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。

若 ${\displaystyle E\to B}$  是一个向量丛则我们可以把 ${\displaystyle \omega }$  看作是 1-形式的矩阵，则上面的公式取如下形式：

${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$ 

其中 ${\displaystyle \wedge }$  是楔积。更准确地讲，若 ${\displaystyle \omega _{j}^{i}}$  和 ${\displaystyle \Omega _{j}^{i}}$  分别代表 ${\displaystyle \omega }$  和 ${\displaystyle \Omega }$  的分量（所以每个 ${\displaystyle \omega _{j}^{i}}$  是一个通常的 1-形式而每个 ${\displaystyle \Omega _{j}^{i}}$  是一个普通的2-形式），则

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.}$ 

例如，黎曼流形的切丛，我们有 ${\displaystyle O(n)}$  作为结构群而 ${\displaystyle \Omega _{}^{}}$  是在 ${\displaystyle o(n)}$  中取值的 2-形式（给定标准正交基，可以视为反对称矩阵）。在这种情况，${\displaystyle \Omega _{}^{}}$  是曲率张量的一种替换表述，也就是在曲率张量的标准表示中，我们有

${\displaystyle R(X,Y)Z=\Omega _{}^{}(X\wedge Y)Z.}$ 

上式使用了黎曼曲率张量标准记号。

比安基恒等式

如果 ${\displaystyle \theta }$  是标架丛上的典范向量值 1-形式，联络形式 ω 的挠率 ${\displaystyle \Theta }$  是由结构方程定义的向量值 2-形式：

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$ 

这里 D 代表外共变导数。

第一比安基恒等式（对于标架丛的有挠率联络）取以下形式

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta ={1 \over 2}[\Omega ,\theta ]\ ,}$ 

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立，并有如下形式

${\displaystyle D\Omega =0\ .}$ 

参看

• 联络 (主丛)
• 陈-西蒙斯形式（Chern-Simons form）
• 黎曼流形的曲率
• 规范场论

参考

• S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.