歷史 编辑 關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形 （非平面多邊形 ）的概念推廣到四維空間 的扭歪多面體 和三維空間 的扭歪無限面體。
考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖 ，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號 的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是 m {\displaystyle m} l {\displaystyle l} n {\displaystyle n}
若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號 存在下列等式：
2 sin(π /l ) · sin(π /m ) = cos(π /n ) 三維空間的正扭歪無限面體 编辑 三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體 、六角四片四角孔扭歪無限面體 和六角六片三角孔扭歪無限面體 。約翰·康威 將他們稱為多立方體 （英語：Mucube ）、多八面體（英語：Muoctahedron ）和、多四面體（英語：Mutetrahedron ），英文中的字首 mu-表示「多」（英語：multiple ）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」[2]
四角六片四角孔扭歪無限面體 （多立方體、英語：Mucube ）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形 的公共頂點 六角四片四角孔扭歪無限面體 （多八面體、英語：Muoctahedron ）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形 的公共頂點六角六片三角孔扭歪無限面體 （多四面體、英語：Mutetrahedron ）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p ,q ,p ,r )]+ 的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p ,q ,p ,r )]]的擴展對稱性[3]
緊空間正扭歪無限面體 考克斯特群 無限面體 圖像 面 洞l } 頂點圖 相關堆砌 + ] {4,6|4}四角六片四角孔 扭歪六邊形 t0,3 {4,3,4} {6,4|4}六角四片四角孔 扭歪四邊形 2t{4,3,4} [4] ]][4] ]+ ]{6,6|3}六角六片三角孔 扭歪六邊形 q{4,3,4}
三維雙曲空間的正扭歪無限面體 编辑 1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間 尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體[4]
14種緊空間正扭歪無限面體 编辑 14種緊空間正扭歪無限面體 考克斯特群 無限面體 面 洞 堆砌 頂點圖 無限面體 面 洞 堆砌 頂點圖 {10,4|3} 2t{3,5,3} {4,10|3} t0,3 {3,5,3} {6,4|5} 2t{5,3,5} {4,6|5} t0,3 {5,3,5} {8,6|3} {6,8|3} {10,6|3} {6,10|3} {8,8|3} ct{(4,3,4,3)} {6,6|4} ct{(3,4,3,4)} {8,10|3} {10,8|3} {10,10|3} ct{(5,3,5,3)} {6,6|5} ct{(3,5,3,5)}
17種仿緊空間正扭歪無限面體 编辑 17種仿緊空間正扭歪無限面體 考克斯特群 無限面體 面 洞 堆砌 頂點圖 無限面體 面 洞 堆砌 頂點圖 {8,4|4} 2t{4,4,4} {4,8|4} t0,3 {4,4,4} {12,4|3} 2t{3,6,3} {4,12|3} t0,3 {3,6,3} {6,4|6} 2t{6,3,6} {4,6|6} t0,3 {6,3,6} {8,6|4} {6,8|4} {8,8|4} q{4,4,4} {12,6|3} {6,12|3} {12,8|3} {8,12|3} {12,10|3} {10,12|3} {12,12|3} {6,6|6}
參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16 ] . （原始内容于2020-11-19）. ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry , Infinite Platonic Polyhedra , pp. 333–335 ^ Coxeter , Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31. 外部連結 编辑
正扭歪無限面體, 在幾何學中, 正扭歪, 無限面體, 英語, regular, skew, apeirohedron, 是一種頂點並非全部共面的正無限面體, 即每個面都全等, 每個角也相等的扭歪無限面體, 通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖, 目录, 歷史, 三維空間的, 三維雙曲空間的, 14種緊空間, 17種仿緊空間, 參見, 參考文獻, 外部連結歷史, 编辑關於考克斯特, 1926年時, 約翰, 弗林德斯, 皮特里將扭歪多邊形, 非平面多邊形, 的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限. 在幾何學中 正扭歪 1 無限面體 英語 Regular skew apeirohedron 是一種頂點並非全部共面的正無限面體 即每個面都全等 每個角也相等的扭歪無限面體 通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖 目录 1 歷史 2 三維空間的正扭歪無限面體 3 三維雙曲空間的正扭歪無限面體 3 1 14種緊空間正扭歪無限面體 3 2 17種仿緊空間正扭歪無限面體 4 參見 5 參考文獻 6 外部連結歷史 编辑關於考克斯特 1926年時 約翰 弗林德斯 皮特里將扭歪多邊形 非平面多邊形 的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體 考克斯特找到了三種形式 他們具有平的面和扭歪的頂點圖 兩者彼此互補 它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號 l m n 來表示 這個擴展符號 l m n 表示每個頂點都是m displaystyle m nbsp 個正l displaystyle l nbsp 邊形的公共頂點 且存在正n displaystyle n nbsp 邊形的空洞 若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體 則其施萊夫利符號存在下列等式 2 sin p l sin p m cos p n 三維空間的正扭歪無限面體 编辑三維空間中有三種扭歪無限面體 分別為四角六片四角孔扭歪無限面體 六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體 約翰 康威將他們稱為多立方體 英語 Mucube 多八面體 英語 Muoctahedron 和 多四面體 英語 Mutetrahedron 英文中的字首mu 表示 多 英語 multiple 的意思 其意義分別代表 很多立方體 很多八面體 以及 很多四面體 2 四角六片四角孔扭歪無限面體 多立方體 英語 Mucube 4 6 4 每個頂點都是六個正方形的公共頂點 六角四片四角孔扭歪無限面體 多八面體 英語 Muoctahedron 6 4 4 每個頂點都是四個六邊形的公共頂點 六角六片三角孔扭歪無限面體 多四面體 英語 Mutetrahedron 6 6 3 每個頂點都是六個六邊形的公共頂點考克斯特給予這些 2q 2r p 形式的扭歪無限面體與抽象群 2q 2r 2 p 同構的 p q p r 的手徵對稱性 與之相關的堆砌就具有 p q p r 的擴展對稱性 3 緊空間正扭歪無限面體 考克斯特群對稱性 無限面體 p q l 圖像 面 p 洞 l 頂點圖 相關堆砌 nbsp nbsp nbsp 4 3 4 4 3 4 4 6 4 四角六片四角孔扭歪無限面體多立方體 nbsp 動畫 nbsp nbsp 扭歪六邊形 nbsp 黃色部分 nbsp nbsp nbsp t0 3 4 3 4 nbsp 6 4 4 六角四片四角孔扭歪無限面體多八面體 nbsp 動畫 nbsp 扭歪四邊形 nbsp 綠色部分 nbsp nbsp nbsp 2t 4 3 4 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 4 3 4 6 6 3 六角六片三角孔扭歪無限面體多四面體 nbsp 動畫 nbsp nbsp 扭歪六邊形 nbsp 綠色部分 nbsp nbsp nbsp q 4 3 4 英语 Quarter cubic honeycomb nbsp 三維雙曲空間的正扭歪無限面體 编辑1967年時 C W L Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式 發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體 4 14種緊空間正扭歪無限面體 编辑 14種緊空間正扭歪無限面體 考克斯特群 無限面體 p q l 面 p 洞 l 堆砌 頂點圖 無限面體 p q l 面 p 洞 l 堆砌 頂點圖 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 5 3 10 4 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2t 3 5 3 英语 Bitruncated icosahedral honeycomb nbsp 4 10 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp t0 3 3 5 3 英语 Runcinated icosahedral honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp 5 3 5 6 4 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2t 5 3 5 英语 Bitruncated order 5 dodecahedral honeycomb nbsp 4 6 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp t0 3 5 3 5 英语 Runcinated order 5 dodecahedral honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 3 3 3 8 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 4 3 3 3 nbsp 6 8 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 3 4 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 5 3 3 3 10 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 5 3 3 3 nbsp 6 10 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 3 5 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 3 4 3 8 8 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 4 3 4 3 英语 Cyclotruncated cubic octahedral honeycomb nbsp 6 6 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 4 3 4 英语 Cyclotruncated octahedral cubic honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 5 3 4 3 8 10 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 4 3 5 3 nbsp 10 8 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 5 3 4 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 5 3 5 3 10 10 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 5 3 5 3 英语 Cyclotruncated dodecahedral icosahedral honeycomb nbsp 6 6 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 5 3 5 英语 Cyclotruncated icosahedral dodecahedral honeycomb nbsp 17種仿緊空間正扭歪無限面體 编辑 17種仿緊空間正扭歪無限面體 考克斯特群 無限面體 p q l 面 p 洞 l 堆砌 頂點圖 無限面體 p q l 面 p 洞 l 堆砌 頂點圖 nbsp nbsp nbsp nbsp 4 4 4 8 4 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2t 4 4 4 英语 Bitruncated order 4 square tiling honeycomb nbsp 4 8 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp t0 3 4 4 4 英语 Runcinated order 4 square tiling honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 6 3 12 4 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2t 3 6 3 英语 Bitruncated triangular tiling honeycomb nbsp 4 12 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp t0 3 3 6 3 英语 Runcinated triangular tiling honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 6 6 4 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2t 6 3 6 英语 Bitruncated order 6 hexagonal tiling honeycomb nbsp 4 6 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp t0 3 6 3 6 英语 Runcinated order 6 hexagonal tiling honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 4 4 3 8 6 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 4 4 3 4 nbsp 6 8 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 4 4 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 4 4 4 8 8 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp q 4 4 4 英语 Order 4 square tiling honeycomb nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 3 3 12 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 6 3 3 3 nbsp 6 12 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 3 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 4 3 12 8 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 6 3 4 3 nbsp 8 12 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 4 3 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 5 3 12 10 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 6 3 5 3 nbsp 10 12 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 5 3 6 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 6 3 6 3 12 12 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 6 3 6 3 nbsp 6 6 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp ct 3 6 3 6 nbsp 參見 编辑扭歪多面體 扭歪無限面體 無限面體參考文獻 编辑 400年ぶりに新種の 対称性多面体 構造が発見される gigazine net 2014 02 22 2016 07 16 原始内容存档于2020 11 19 The Symmetry of Things 2008 Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry Infinite Platonic Polyhedra pp 333 335 Coxeter Regular and Semi Regular Polytopes II 2 34 Garner C W L Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three Space Canad J Math 19 1179 1186 1967 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 Note His paper says there are 32 but one is self dual leaving 31 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Regular Skew Polyhedron MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 正扭歪無限面體 amp oldid 74057886, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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