扭歪多面體

在幾何學中，扭歪^[1]多面體（英語：Skew polyhedron）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。

正扭歪多面體代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的研究著重於具有扭歪頂點圖新的四維多面體，後期多由布蘭科·格林鲍姆（英语：Branko Grünbaum）研究有扭歪面的形狀^[3]。

具有無限多個面的扭歪多面體稱為扭歪無限面體。除了扭歪無限面體之外的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。

歷史

關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念廣義化。

考克斯特針對這種圖提出一個施萊夫利符號的擴展符號 {l,m|n} ，其中以{l,m}表示其頂點：每個頂點都是m個l邊形的公共頂點。他們的頂點圖是扭歪多邊形，以鋸齒的形式存在於兩個面中。

能表示為{l,m|n}的正扭歪多面體存在以下等式：

${\displaystyle 2\cos({\frac {\pi }{l}})\cos({\frac {\pi }{m}})=\cos({\frac {\pi }{n}})}$ 

第一系列的{l,m|n}正扭歪多面體與五個正多面體和一個星形正多面體相關：

{l, m | n}	面	邊	頂點	p	多面體	對稱性 階數
{3,3|3} = {3,3}	4	6	4	0	正四面體	12
{3,4|4} = {3,4}	8	12	6	0	正八面體	24
{4,3|4} = {4,3}	6	12	8	0	立方體	24
{3,5|5} = {3,5}	20	30	12	0	正二十面體	60
{5,3|5} = {5,3}	12	30	20	0	正十二面體	60
{5,5|3} = {5,5/2}	12	30	12	4	大十二面體	60

四維的正扭歪多面體

A4 考克斯特平面投影
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}
截半五胞體（英语：Runcinated 5-cell） (60條邊、20個頂點)	過截角五胞體 (60條邊、30個頂點)
F4 考克斯特平面投影
{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}
截半二十四胞體（英语：Runcinated 24-cell） (576條邊、144個頂點)	過截角二十四胞體（英语：Bitruncated 24-cell） (576條邊、288個頂點)
一些位於半正多胞體中的四維扭歪多面體的投影

考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體及其類似物》^[4]中列出了較多的一系列扭歪多面體。

偶數皆扭歪多面體

{l, m | n}	面	邊	頂點	p	結構	對稱性	階數	相關半正多胞體
{4,4| 3}	9	18	9	1	D3xD3	[[3,2,3]^+]	9	3-3 超柱體
{4,4| 4}	16	32	16	1	D4xD4	[[4,2,4]^+]	16	4-4 超柱體 或 超立方體
{4,4| 5}	25	50	25	1	D5xD5	[[5,2,5]^+]	25	5-5 超柱體
{4,4| 6}	36	72	36	1	D6xD6	[[6,2,6]^+]	36	6-6 超柱體
{4,4| n}	n^2	2n^2	n^2	1	DnxDn	[[n,2,n]^+]	n^2	n-n 超柱體
{4,6| 3}	30	60	20	6	S5	[[3,3,3]^+]	60	截半五胞體（英语：Runcinated 5-cell）
{6,4| 3}	20	60	30	6	S5	[[3,3,3]^+]	60	過截角五胞體
{4,8| 3}	288	576	144	73		[[3,4,3]^+]	576	截半二十四胞體（英语：Runcinated 24-cell）
{8,4| 3}	144	576	288	73		[[3,4,3]^+]	576	截半二十四胞體（英语：Bitruncated 24-cell）

五角星形的扭歪多面體

{l, m | n}	面	邊	頂點	p	結構	對稱性	階數	相關的多胞體
{4,5| 5}	90	180	72	10	A6	[[5/2,5,5/2]^+]	360	截半大星形一百二十胞體（英语：grand stellated 120-cell）
{5,4| 5}	72	180	90	10	A6	[[5/2,5,5/2]^+]	360	過截角大星形一百二十胞體（英语：grand stellated 120-cell）

參見

• 扭歪多邊形

參考文獻

1. Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra^{[永久失效連結]}, Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
2. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
3. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
   • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
   • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
   • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
4. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
   • Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
5. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
6. Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. （原始内容于2020-07-12）. 

1. 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始内容于2020-11-19）. 
2. McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press, December 2002, ISBN 0-521-81496-0  p. 25
3. Abstract Regular Polytopes^[2] , p.7, p.17
4. Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.