柯西分布, 也叫作柯西, 洛伦兹分布, 它是以奥古斯丁, 路易, 柯西与亨德里克, 洛伦兹名字命名的连续概率分布, 其概率密度函数为柯西, 洛伦兹分布概率密度函數绿线是标准累積分布函數与上图中的颜色对应参数x, displaystyle, 位置参数, 实数, displaystyle, gamma, 尺度参数, 实数, 值域x, displaystyle, infty, infty, 概率密度函数1, displaystyle, frac, gamma, left, left, frac, gamma, right. 柯西分布也叫作柯西 洛伦兹分布 它是以奥古斯丁 路易 柯西与亨德里克 洛伦兹名字命名的连续概率分布 其概率密度函数为柯西 洛伦兹分布概率密度函數绿线是标准柯西分布累積分布函數与上图中的颜色对应参数x 0 displaystyle x 0 位置参数 实数 g gt 0 displaystyle gamma gt 0 尺度参数 实数 值域x displaystyle x in infty infty 概率密度函数1 p g 1 x x 0 g 2 displaystyle frac 1 pi gamma left 1 left frac x x 0 gamma right 2 right 累積分布函數1 p arctan x x 0 g 1 2 displaystyle frac 1 pi arctan left frac x x 0 gamma right frac 1 2 期望值 没有定义 中位數x 0 displaystyle x 0 眾數x 0 displaystyle x 0 方差 没有定义 偏度 没有定义 峰度 没有定义 熵ln 4 p g displaystyle ln 4 pi gamma 矩生成函数 没有定义 特徵函数exp x 0 i t g t displaystyle exp x 0 i t gamma t f x x 0 g 1 p g 1 x x 0 g 2 displaystyle f x x 0 gamma frac 1 pi gamma left 1 left frac x x 0 gamma right 2 right 1 p g x x 0 2 g 2 displaystyle 1 over pi left gamma over x x 0 2 gamma 2 right 其中x0是定义分布峰值位置的位置参数 g是尺度参数 是半峰全宽 四分位距的一半 作为概率分布 通常叫作柯西分布 物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit Wigner分布 在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解 在光谱学中 它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状 在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语 x0 0且g 1的特例称为标准柯西分布 其概率密度函数为 f x 0 1 1 p 1 x 2 displaystyle f x 0 1 frac 1 pi 1 x 2 特性 编辑 Lorentzian function Imaginary part Maple complex 3D plot Imaginary plot of Lorentzian function Maple animation 其累积分布函数为 F x x 0 g 1 p arctan x x 0 g 1 2 displaystyle F x x 0 gamma frac 1 pi arctan left frac x x 0 gamma right frac 1 2 柯西分布的逆累积分布函数为 F 1 p x 0 g x 0 g tan p p 1 2 displaystyle F 1 p x 0 gamma x 0 gamma tan pi p 1 2 柯西分布的平均值 方差或者矩都没有定义 它的众数与中值有定义都等于 x0 取 X 表示柯西分布随机变量 柯西分布的特性函数表示为 ϕ x t x 0 g E e i X t exp i x 0 t g t displaystyle phi x t x 0 gamma mathrm E e i X t exp i x 0 t gamma t 如果 U 与 V 是期望值为 0 方差为 1 的两个独立正态分布随机变量的话 那么比值 U V 为標準柯西分布 標準柯西分佈是學生t 分佈自由度為1的特殊情況 柯西分佈是穩定分佈 如果X Stable 1 0 g m displaystyle X sim textrm Stable 1 0 gamma mu 則X Cauchy m g displaystyle X sim textrm Cauchy mu gamma 如果 X1 Xn 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量 那么算术平均数 X1 Xn n 有同样的柯西分布 为了证明这一点 我们来计算采样平均的特性函数 ϕ X t E e i X t displaystyle phi overline X t mathrm E left e i overline X t right 其中 X displaystyle overline X 是采样平均值 这个例子表明不能舍弃中心极限定理中的有限变量假设 洛仑兹线性分布更适合于那种比较扁 宽的曲线 高斯线性分布则适合较高 较窄的曲线 当然 如果是比较居中的情况 两者都可以 很多情况下 采用的是两者各占一定比例的做法 如洛伦茨占60 高斯占40 洛伦茨分布方程式 编辑Function 1 2 G x 2 1 2 G 2 displaystyle frac frac 1 2 Gamma x 2 frac 1 2 Gamma 2 其中G displaystyle Gamma 為一個分布算符 詳見伽瑪分布 外部链接 编辑1 埃里克 韦斯坦因 Cauchy Distribution MathWorld 2 GNU Scientific Library Reference Manual 页面存档备份 存于互联网档案馆 3 https mathworld wolfram com FullWidthatHalfMaximum html 取自 https zh wikipedia org w index php title 柯西分布 amp oldid 74377381, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,