Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8(法语).引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护:冗余文本 (link)
Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9(英语).
十月 20, 2023
有理映射, 在代數幾何中, 是定義在概形的稠密開集上的態射, 及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象, 目录, 定義, 例子, 優勢映射與雙有理等價, 雙有理等價的例子, 參見, 文獻定義, 编辑固定概形, displaystyle, nbsp, 考慮所有的資料, displaystyle, nbsp, 其中, displaystyle, subset, nbsp, 是稠密開集, displaystyle, nbsp, 是態射, 這些資料代表了, displaystyle, nbsp, 部份定義, 的態射. 在代數幾何中 有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射 有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象 目录 1 定義 2 例子 3 優勢映射與雙有理等價 4 雙有理等價的例子 5 參見 6 文獻定義 编辑固定概形 V W displaystyle V W nbsp 考慮所有的資料 U f displaystyle U f nbsp 其中 U V displaystyle U subset V nbsp 是稠密開集 而 f U W displaystyle f U to W nbsp 是態射 這些資料代表了 U displaystyle U nbsp 上 部份定義 的態射 U displaystyle U nbsp 代表 f displaystyle f nbsp 的定義域 定義下述等價關係 U f U g f U U g U U displaystyle U f sim U g iff f U cap U g U cap U nbsp 此外 注意到稠密性保證 U U displaystyle U cap U nbsp 也是 V displaystyle V nbsp 中的稠密開集 當 V displaystyle V nbsp 不可約 則所有非空開集都是稠密的 若再假設 V displaystyle V nbsp 既約而 W displaystyle W nbsp 是分離概形 則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元 從概形 V displaystyle V nbsp 到 W displaystyle W nbsp 的有理映射 f displaystyle f nbsp 是其中的一個等價類 U f displaystyle U f nbsp 若 f displaystyle f nbsp 是從 U displaystyle U nbsp 到 V displaystyle V nbsp g displaystyle g nbsp 是從 V displaystyle V nbsp 到 W displaystyle W nbsp 的有理映射 則一般並不能定義其合成 g f displaystyle g circ f nbsp 但是當 f displaystyle f nbsp 的像 對某個 因而對每個代表元 U 0 f U 0 displaystyle U 0 f U 0 nbsp 在 V displaystyle V nbsp 中稠密時 對每個 g displaystyle g nbsp 的代表元 V 0 g V 0 displaystyle V 0 g V 0 nbsp f U 0 U 0 V 0 displaystyle f U 0 U 0 cap V 0 nbsp 皆非空 此時可以定義 g f f U 0 1 V 0 g V 0 f U 0 displaystyle g circ f f U 0 1 V 0 g V 0 circ f U 0 nbsp 同理 若 V displaystyle V nbsp 與 W displaystyle W nbsp 都是 S displaystyle S nbsp 上的概形 也可以類似地定義 S displaystyle S nbsp 有理映射 例子 编辑設 k displaystyle k nbsp 為整環 設 V A k n displaystyle V mathbb A k n nbsp W A k m displaystyle W mathbb A k m nbsp 則從 V displaystyle V nbsp 到 W displaystyle W nbsp 的任何有理映射 f displaystyle f nbsp 有唯一的表法 f f 1 x 1 x n g 1 x 1 x n f m x 1 x n g m x 1 x n displaystyle f left dfrac f 1 x 1 ldots x n g 1 x 1 ldots x n ldots dfrac f m x 1 ldots x n g m x 1 ldots x n right nbsp 其中 f i g i displaystyle f i g i nbsp 是多項式 該有理映射可以在 A k n i g i 0 displaystyle mathbb A k n setminus bigcup i g i 0 nbsp 上定義 此外 對於不可約 k displaystyle k nbsp 概形 X displaystyle X nbsp 其上的有理函數一一對應到從 X displaystyle X nbsp 到 P k 1 displaystyle mathbb P k 1 nbsp 的有理映射 優勢映射與雙有理等價 编辑之前考慮合成問題時 曾利用像的稠密性條件 滿足該條件的有理映射稱為優勢映射 由於優勢映射可以作合成 定義從概形 V displaystyle V nbsp 到 W displaystyle W nbsp 的雙有理等價為一個優勢映射 f displaystyle f nbsp 使得存在另一個從 W displaystyle W nbsp 到 V displaystyle V nbsp 的優勢映射 g displaystyle g nbsp 使 f g i d W displaystyle f circ g mathrm id W nbsp g f i d V displaystyle g circ f mathrm id V nbsp 以下考慮域 k displaystyle k nbsp 上的不可約代數簇及其間的 k displaystyle k nbsp 有理映射 有理映射的地位在於 透過有理函數的 拉回 運算 代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射 而雙有理等價對應到函數域的同構 由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇 雙有理等價的例子 编辑雙有理等價的定義較同構寬 因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義 一個例子是 P k 2 displaystyle mathbb P k 2 nbsp 與 X x y w z 0 P k 3 displaystyle X xy wz 0 subset mathbb P k 3 nbsp 兩者雙有理等價 而並不同構 原因如下 P k 2 displaystyle mathbb P k 2 nbsp 中的任兩條閉曲線都有交點 而在 X displaystyle X nbsp 中 w x 0 displaystyle w x 0 nbsp 與 y z 0 displaystyle y z 0 nbsp 不相交 因而 X displaystyle X nbsp 與 P k 2 displaystyle mathbb P k 2 nbsp 並不同構 另一方面 X displaystyle X nbsp 的函數域可以在仿射開集 w 0 displaystyle w neq 0 nbsp 上計算 此開集的座標環是 k x y z x y z k x y displaystyle k x y z xy z simeq k x y nbsp 其函數域是 k x y displaystyle k x y nbsp 這也是 P k 2 displaystyle mathbb P k 2 nbsp 的函數域 於是二者雙有理等價 若細審上述論證 事實上能寫出所求雙有理等價的式子 參見 编辑雙有理幾何文獻 编辑Grothendieck Alexandre Jean Dieudonne Elements de geometrie algebrique 2nd edition Berlin New York Springer Verlag 1971 ISBN 978 3 540 05113 8 法语 引文使用过时参数coauthors 帮助 引文格式1维护 冗余文本 link Hartshorne Robin Algebraic Geoemtry Berlin New York Springer Verlag 1977 ISBN 978 0 387 90244 9 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 有理映射 amp oldid 68714801, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,