斜坡函数

斜坡函数是一個一元（英语：Unary function）實函數，因此其圖形類似斜坡，故得其名，此函數常用在工程中（例如數位訊號處理）。

斜坡函数的圖

定義

斜坡函数（${\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ）可以用許多的解析方式來定義。以下是一些定義：

${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}$ 

或

${\displaystyle R(x):=\operatorname {max} (x,0)}$ 

• 单位阶跃函数乘以x：

${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}$ 

• 单位阶跃函数和其本身的卷積：

${\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}$ 

• 单位阶跃函数的積分：

${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }$ 

• 麦考利括弧（英语：Macaulay brackets）：

${\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }$ 

解析性質

非零性質

此函數在整個定義域中的值都是非負值，因此其絕對值都是其自身。

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0}$ 

及

${\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)}$ 

導數

斜坡函数的導數為单位阶跃函数

${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0}$ 

傅里叶变换

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$  ${\displaystyle =}$  ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$  ${\displaystyle =}$  ${\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$ 

其中${\displaystyle \delta (x)}$ 為狄拉克δ函数（在此公式中，有出現其微分項）

拉普拉斯變換

${\displaystyle R(x)}$ 單邊的拉普拉斯變換定義如下：

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$ 

代數性質

迭代不變性

斜坡函数的每個迭代函数都是其自身：
${\displaystyle R\left(R\left(x\right)\right)=R\left(x\right)}$ .

• 證明：${\displaystyle R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}}$  ${\displaystyle =}$ 
  ${\displaystyle =}$  ${\displaystyle {\frac {2R(x)}{2}}=R(x)}$ .

此處應用到非零性質。

參考資料

• Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）