扩展图

在组合数学中，扩展图（英語：Expander graph）是一种具有强连通性质的稀疏图，可用边扩展性、顶点扩展性或图谱扩展性三种方式来量化。扩展图的构造问题引导了多个数学分支上的研究，并且在计算复杂性理论、计算机网络设计和编码理论上有诸多应用^[1]。

定义

对于有限、无向、连通的多重图，扩展性是一种能够衡量其连通强弱的指标。直观而言，扩展性较强意味着图中任何「不太大」的顶点集均有较大的边界，也就是说集合内外的交互很强。

连通图的扩展性有的弱，有的强。例如道路的扩展性很弱，而完全图的扩展性最强。可以看出，稠密图比稀疏图更“容易”具备强扩展性。但人们希望构造一类鱼与熊掌兼得的图：既能保持稀疏性，又具备很强的扩展性。具备这样“矛盾”属性的图就是一张扩展图；矛盾对立越深，扩展图越优良。

用数学语言表达如下：若一张图图有 ${\displaystyle n}$  个顶点、最大度为 ${\displaystyle d}$ 、扩展性为 ${\displaystyle h}$ ，那么就称它为${\displaystyle (n,d,h)}$ -扩展图。${\displaystyle d}$  越小（即图越稀疏）且 ${\displaystyle h}$  越大（即扩展性越强），则扩展图的性质越优异。

作为扩展图定义中的关键参数之一，“扩展性”的精确概念可用不同方式来量化。下文将讨论边扩展性、顶点扩展性和谱扩展性三种量化方式。

边扩展性

包含 ${\displaystyle n}$  个顶点的图 ${\displaystyle G=(V,E)}$  的边扩展性 ${\displaystyle h(G)}$  定义为

${\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial S|}{|S|}}}$ 

其中 ${\displaystyle \partial S:=\{\{u,v\}\in E\mid u\in S,v\in V\setminus S\}}$  为子集 ${\displaystyle S}$  的边界。注意在此定义中，最小值取于所有非空且大小不超过 ${\displaystyle n/2}$  的顶点集^[2]。

顶点扩展性

图 ${\displaystyle G}$  的顶点扩展性 ${\displaystyle h_{\text{out}}(G)}$  定义为

${\displaystyle h_{\text{out}}(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial _{\text{out}}(S)|}{|S|}}}$ 

此处 ${\displaystyle \partial _{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists u\in S:\{u,v\}\in E\}}$  是集合 ${\displaystyle S}$  的外边缘^[3]。顶点扩展性有一种变体，称作「唯一邻点扩展性」（unique neighbor expansion），在这里 ${\displaystyle \partial _{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists !u\in S:\{u,v\}\in E\}}$ ^[4]。

谱扩展性

当 ${\displaystyle G}$  是d-正则图时，可以借助线性代数中的特征值理论来定义扩展性，称作谱扩展性。具体而言，设 ${\displaystyle A}$  是图 ${\displaystyle G}$  的邻接矩阵，其中 ${\displaystyle A(i,j)}$  记录了顶点 ${\displaystyle i,j}$  之间的边数^[5]。因为 ${\displaystyle A}$  是实对称矩阵，根据谱定理知道它有 ${\displaystyle n}$  个实特征值 ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}}$ 。可以证明它们都落在区间 ${\displaystyle [-d,d]}$ 内。

由于 ${\displaystyle G}$  是正则图，所以 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  上的均匀分布 ${\displaystyle \mathbf {u} :=(1/n,1/n,\dots ,1/n)}$  是矩阵 ${\displaystyle A}$  的特征向量，对应特征值 ${\displaystyle d=\lambda _{1}}$ ，即 ${\displaystyle A\mathbf {u} =d\mathbf {u} }$ 。图 ${\displaystyle G}$  的谱间距（spectral gap）定义为 ${\displaystyle d-\lambda _{2}}$ ，它可以用作扩展性的量度。

三种扩展性度量之间的关系

上面定义的三种量化方式虽然形式上有差别，但在本质上相互联系。对于d-正则图，我们有

${\displaystyle h_{\text{out}}(G)\leq h(G)\leq d\cdot h_{\text{out}}(G).}$ 

因此，当度是常数时，前两种量化方式并无实质区别。

Cheeger不等式

对于d-正则图，Dodziuk^[6]和Alon、Milman^[7] 证明了

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}}$ 

这一不等式与马尔可夫链的Cheeger不等式有本质联系。

注解

1. Hoory，Linial & Widgerson (2006)
2. Definition 2.1 in Hoory，Linial & Widgerson (2006)
3. Bobkov，Houdré & Tetali (2000)
4. Alon & Capalbo (2002)
5. cf. Section 2.3 in Hoory，Linial & Wigderson (2006)
6. Dodziuk 1984. sfn error: no target: CITEREFDodziuk1984 (help)
7. Alon & Spencer 2011.

参考来源

教科书和文献综述

• Alon, N.; Spencer, Joel H. 9.2. Eigenvalues and Expanders. The Probabilistic Method 3rd. John Wiley & Sons. 2011. 
• Chung, Fan R. K., Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 92, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0315-8 
• Davidoff, Guiliana; Sarnak, Peter; Valette, Alain, Elementary number theory, group theory and Ramanujan graphs, LMS student texts 55, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-53143-8 
• Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Widgerson, Avi, Expander graphs and their applications (PDF), Bulletin (New series) of the American Mathematical Society, 2006, 43 (4): 439–561 [2017-08-16], doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8, （原始内容 (PDF)于2021-01-26） 
• Krebs, Mike; Shaheen, Anthony, Expander families and Cayley graphs: A beginner's guide, Oxford University Press, 2011, ISBN 0-19-976711-4 

研究论文

• Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E., An O(n log n) sorting network, Proceedings of the 15th Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 1–9, 1983, ISBN 0-89791-099-0, doi:10.1145/800061.808726 
• Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E., Proceedings of the 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, 1987: 132–140, ISBN 0-89791-221-7, doi:10.1145/28395.28410 
• Alon, N.; Capalbo, M. Explicit unique-neighbor expanders. The 43rd Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 2002. Proceedings. 2002: 73. ISBN 0-7695-1822-2. doi:10.1109/SFCS.2002.1181884. 
• Bobkov, S.; Houdré, C.; Tetali, P., λ_∞, vertex isoperimetry and concentration, Combinatorica, 2000, 20 (2): 153–172, doi:10.1007/s004930070018 .
• Dinur, Irit, The PCP theorem by gap amplification, Journal of the ACM, 2007, 54 (3): 12–es, doi:10.1145/1236457.1236459 .
• Gillman, D., A Chernoff Bound for Random Walks on Expander Graphs, SIAM Journal on Computing (Society for Industrial and Applied Mathematics), 1998, 27 (4,): 1203–1220, doi:10.1137/S0097539794268765 
• Goldreich, Oded, Basic Facts about Expander Graphs, Studies in Complexity and Cryptography, 2011: 451–464, doi:10.1007/978-3-642-22670-0_30 
• Reingold, Omer, Undirected connectivity in log-space, Journal of the ACM, 2008, 55 (4): Article 17, 24 pages, doi:10.1145/1391289.1391291 
• Yehudayoff, Amir, Proving expansion in three steps, ACM SIGACT News, 2012, 43 (3): 67–84, doi:10.1145/2421096.2421115 

外部链接

• Brief introduction in Notices of the American Mathematical Society （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Introductory paper by Michael Nielsen （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Lecture notes from a course on expanders (by Prahladh Harsha) （页面存档备份，存于互联网档案馆）