恰薩爾十四面體

恰薩爾十四面體是一種可以對應到拓撲环面的非凸多面體，由阿科斯·恰薩爾（英语：Ákos Császár）於1949年發現。^[1]這個多面體中間有一個孔洞，由14個不等邊三角形面組成。特別地，這個多面體不存在對角線，也就是說任兩個頂點之間所形成的線段都位於其表面邊界上，同時，其也對應到七的頂點的完全圖。^[2]:139-143

恰薩爾十四面體

類別	环形多面体（英语：Toroidal_polyhedron）
對偶多面體	希洛西七面體
性質
面	14
邊	21
頂點	7
歐拉特徵數	F=14, E=21, V=7 （χ=0）
虧格	1
組成與佈局
面的種類	2個等邊三角形 2個等腰三角形 10個鈍角三角形
面的佈局 （英语：Face configuration）	3.3.3.3.3.3
對稱性
對稱群	C1, [ ]^+, (11)
特性
非凸
圖像
希洛西七面體 （對偶多面體） （展開圖）
查 论 编

性質

動畫展示了恰薩爾十四面體結構以及展開為展開圖的過程

 

恰薩爾十四面體的正交投影圖。 在其SVG圖像中可用滑鼠轉動以便觀察整個模型

恰薩爾十四面體由14個面、21條邊和7個頂點組成。在這七個頂點中，每個頂點都是6個三角形的公共頂點，其可以分成3組和一個單獨的頂點，三組兩兩相等，與其對偶多面體——希洛西七面體的面對應^[3]。在其14個面中，有2個等邊三角形、2個等腰三角形和10個鈍角三角形。^[3]

完全圖

恰薩爾十四面體是一種不存在對角線的流形多面體結構。^[1]也就是說，對恰薩爾十四面體的所有頂點而言，任意兩個頂點間皆有一條邊連接，因此這個多面體不存在任何不在邊界上且連接兩個頂點的線段。這種性質目前已知僅有正四面體和恰薩爾十四面體擁有。這種性質在圖論中稱為完全圖，也就是說恰薩爾十四面體可以對應到七個頂點的完全圖。^[4][5]

若一個在一個有h個孔洞的環面構建一個邊界包含v個頂點的多面體，且所有頂點中任兩個頂點間都有邊相連，則其部分的歐拉特徵數會具有以下關係：^[6]

$${\displaystyle h={\frac {(v-3)(v-4)}{12}}.}$$

 

對於零個孔、四個頂點（h=0、v=4）的四面體和1個孔、7個頂點（h=1、v=7）的恰薩爾十四面體都滿足這個方程。下一個可能的整數解是6個孔、12個頂點（h=6、v=12）具有44個面和66個條邊的多面體。然而目前並不知道是否存在實體的多面體滿足這個特性，而非僅能以抽象多面體的方式存在。更無法確定這樣的多面體是否能在更高虧格的環面下存在。^[7]更一般地，當v除以12餘0、3、4或7時，上述等式給出的h值皆為整數。^[8]

頂點座標

恰薩爾十四面體的最短邊長為${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {1238}}{6}}\approx 5.8642}$ 單位長，且幾何中心位於原點時，此時7頂點的座標分別為：^[9][10]

${\displaystyle \left(\pm 12,\,0,\,-6{\sqrt {2}}\right)}$ 、${\displaystyle \left(0,\,\pm 12,\,6{\sqrt {2}}\right)}$ 、${\displaystyle \left(-4,\,-3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$ 、${\displaystyle \left(4,\,3,\,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$ 、${\displaystyle \left(0,\,0,\,{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)}$ 。

其中，有正負號者代表兩個頂點。在這樣的頂點配置下，恰薩爾十四面體21條邊中共有8個不同的邊長，分別為：${\displaystyle {\frac {\sqrt {1238}}{6}}}$ （兩條邊）、10、${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {70}}}{2}}}$ （四條邊）、${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {374}}}{3}}}$ （兩條邊）、${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {662}}}{3}}}$ （兩條邊）、${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {134}}}{2}}}$ （兩條邊）、${\displaystyle {\frac {\sqrt {1938}}{2}}}$ （兩條邊）、24（六條邊）。^[3]

體積與表面積

若一恰薩爾十四面體最短邊長為單位長，則其體積約為8.50517立方單位、表面積${\displaystyle A}$ 為：^[11]

${\displaystyle A={\frac {6{\sqrt {3}}+6{\sqrt {38}}+2{\sqrt {101}}+3{\sqrt {602}}+{\sqrt {713}}+{\sqrt {755}}+3{\sqrt {878}}}{6}}\approx 47.3597}$ 平方單位

用途

恰薩爾十四面體對應的圖和其對偶圖可以用來查找斯坦纳三元系統（Steiner triple systems）^[12][13]。

參見

• 希洛西七面體

參考文獻

1. Császár, A., (PDF), Acta Sci. Math. Szeged, 1949, 13: 140–142 [2021-09-08], 原始内容存档于2017-09-18. 
2. Gardner, Martin, Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, W. H. Freeman and Company, 1988, ISBN 0-7167-1924-X 
3. Regular Triangular Toroidal Solids: Császár Polyhedron (version 4). dmccooey.com. [2021-07-30]. （原始内容于2021-09-08）. 
4. Alexander Bogomolny. Császár Polyhedron. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. [2021-09-08]. （原始内容于2021-08-14）. 
5. Weisstein, Eric W. (编). Császár Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
6. Martin Gardner. MATHEMATICAL GAMES. Scientific American (Scientific American, a division of Nature America, Inc.). 1975, 232 (5): 102–108 [2021-09-08]. ISSN 0036-8733. （原始内容于2021-09-08）. ISSN 1946-7087.
7. Ziegler, Günter M., Polyhedral Surfaces of High Genus, Bobenko, A. I.; Schröder, P.; Sullivan, J. M.; Ziegler, G. M. (编), Discrete Differential Geometry, Oberwolfach Seminars 38, Springer-Verlag: 191–213, 2008, ISBN 978-3-7643-8620-7, arXiv:math.MG/0412093  , doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_10 
8. Lutz, Frank H., Császár's Torus, Electronic Geometry Models, 2001: 2001.02.069 [2021-09-08], （原始内容于2022-01-19） 
9. L. Szilassi. On Three Classes of Regular Toroids (PDF). Symmetry: Culture and Science (Department of Mathematics, Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology in Bratislava). 2000, 11 (1–4): 317–335 [2021-09-08]. （原始内容 (PDF)于2016-06-09）. 
10. Data of Császár Polyhedron (version 4). dmccooey.com. [2021-09-08]. （原始内容于2021-09-08）. 
11. Wolfram, Stephen. "Császár Polyhedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
12. Weisstein, Eric W. (编). Steiner Triple System. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
13. Gardner, Martin. On the Remarkable Császár Polyhedron and Its Applications in Problem Solving,. Scientific American (SCI AMERICAN INC 415 MADISON AVE, NEW YORK, NY 10017). 1975, 232 (5): 102–107.