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快樂數

十二月 28, 2022

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數位（英語：digits）的平方和，得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。

以十進位為例：

2 8 → → →
3 2 → → →
3 7 → → → → → → → →
5 6 → → → → → → → → → →

因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。

快樂數表格

以下是小於100的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

以下是100到小於200的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189
190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

以下是200到小於300的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

200 201 202 203 204 205 206 207 208 209
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
220 221 222 223 224 225 226 227 228 229
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249
250 251 252 253 254 255 256 257 258 259
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279
280 281 282 283 284 285 286 287 288 289
290 291 292 293 294 295 296 297 298 299

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

以下是300到小於400的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

300 301 302 303 304 305 306 307 308 309
310 311 312 313 314 315 316 317 318 319
320 321 322 323 324 325 326 327 328 329
330 331 332 333 334 335 336 337 338 339
340 341 342 343 344 345 346 347 348 349
350 351 352 353 354 355 356 357 358 359
360 361 362 363 364 365 366 367 368 369
370 371 372 373 374 375 376 377 378 379
380 381 382 383 384 385 386 387 388 389
390 391 392 393 394 395 396 397 398 399

發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。

快樂數的因數

以下是300以內的快樂數因數。

快樂數 因數 因數個數 奇偶數 數字和
1 1 1 奇數 1
7 1、7 2 奇數 7
10 1、2、5、10 4 偶數 1
13 1、13 2 奇數 4
19 1、19 2 奇數 10
23 1、23 2 奇數 5
28 1、2、4、7、14、28 6 偶數 10
31 1、31 2 奇數 4
32 1、2、4、8、16、32 6 偶數 5
44 1、2、4、11、22、44 6 偶數 8
49 1、7、49 3 奇數 13
68 1、2、4、17、34、68 6 偶數 14
70 1、2、5、7、10、14、35、70 8 偶數 7
79 1、79 2 奇數 16
82 1、2、41、82 4 偶數 10
86 1、2、43、86 4 偶數 14
91 1、7、13、91 4 奇數 10
94 1、2、47、94 4 偶數 13
97 1、97 2 奇數 16
100 1、2、4、5、10、20、25、50、100 9 偶數 1
103 1、103 2 奇數 4
109 1、109 2 奇數 10
129 1、3、43、129 4 奇數 12
130 1、2、5、10、13、26、65、130 8 偶數 4
133 1、7、19、133 4 奇數 7
139 1、139 2 奇數 13
167 1、167 2 奇數 14
176 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 10 偶數 14
188 1、2、4、47、94、188 6 偶數 17
190 1、2、5、10、19、38、95、190 8 偶數 10
192 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 14 偶數 12
193 1、193 2 奇數 13
203 1、7、29、203 4 奇數 5
208 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 10 偶數 10
219 1、3、73、219 4 奇數 12
226 1、2、113、226 4 偶數 10
230 1、2、5、10、23、46、115、230 8 偶數 5
236 1、2、4、59、118、236 6 偶數 11
239 1、239 2 奇數 14
262 1、2、131、262 4 偶數 10
263 1、263 2 奇數 11
280 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 16 偶數 10
291 1、3、97、291 4 奇數 12
293 1、293 2 奇數 14

由表格可知：

  • 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
  • 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
  • 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
  • 1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。
  • 1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
  • 1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。

快樂質數

在十進位下，300以內的快樂質數有（OEIS數列A035497）：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。

快樂完全數

已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。

其他進制的快樂數

  • 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS數列A239320）
  • 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS數列A240849）
  • 任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

（OEIS數列A161871）

其他進制的不快樂數循環

2進制 每個數都是快樂數

3進制 2 →11 →2 written in base 10: 2 →4 →2

4進制 每個數都是快樂數

5進制 4 →31 →20 →4 23 →23 written in base 10: 4 →16 →10 →4 13 →13

6進制 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 written in base 10: 5 → 25→ 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

7进制 2 →4 →22 →11 →2 34 →34 written in base 10: 2 →4 →16 →8 →2 25 →25

8進制 4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 32 → 15 → 32 written in base 10: 4 → 16 → 4 5 → 25 → 10 → 5 26 → 13 → 26

9进制 58 →108 →72 →58 55→55 written in base 10: 53→89→65→53 50→50

10进制 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

11進制 75 →68 →91 →75 23 →12 →5 →23 written in base 10: 82→74→100→82 25→13→5→25

12进制 22→8 →54 →35 →2A →88 →A8 →118 →56 →51 →22 21 →5 →21 written in base 10: 26 →8 →64 →41 →34 →104 →128 →164 →66 →61 →26 25 →5 →25

13进制 79 →A0 →79 36 →36 B2 →98 →B2 67 →67 14 →14 written in base 10: 100 →130 →100 45→45 145→125→145 85→85 17→17

16进制 D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D written in base 10: 13→169→181→146→85→50→13

其他性質

  • 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
  • 通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。[1]
  • 十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。

Python程式碼

#ishappy number  def ishappy(n):  a = []  while n not in a:  a.append(n)  n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])   return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'

相關條目

外部連結

  • - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕
  1. ^ Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836  . 

十二月 28, 2022
快樂數, 此條目需要擴充, 2013年2月14日, 请協助改善这篇條目, 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到, 请在擴充條目後將此模板移除, 有以下的特性, 在給定的進位制下, 該數字所有數位, 英語, digits, 的平方和, 得到的新數再次求所有數位的平方和, 如此重複進行, 最終結果必為1, 以十進位為例, displaystyle, displaystyle, displaystyle, displaystyle, displaystyle, displaystyle, displaystyle. 此條目需要擴充 2013年2月14日 请協助改善这篇條目 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到 请在擴充條目後將此模板移除 快樂數有以下的特性 在給定的進位制下 該數字所有數位 英語 digits 的平方和 得到的新數再次求所有數位的平方和 如此重複進行 最終結果必為1 以十進位為例 2 8 2 2 8 2 68 displaystyle 2 2 8 2 68 6 2 8 2 100 displaystyle 6 2 8 2 100 1 2 0 2 0 2 1 displaystyle 1 2 0 2 0 2 1 3 2 3 2 2 2 13 displaystyle 3 2 2 2 13 1 2 3 2 10 displaystyle 1 2 3 2 10 1 2 0 2 1 displaystyle 1 2 0 2 1 3 7 3 2 7 2 58 displaystyle 3 2 7 2 58 5 2 8 2 89 displaystyle 5 2 8 2 89 8 2 9 2 145 displaystyle 8 2 9 2 145 1 2 4 2 5 2 42 displaystyle 1 2 4 2 5 2 42 4 2 2 2 20 displaystyle 4 2 2 2 20 2 2 0 2 4 displaystyle 2 2 0 2 4 4 2 16 displaystyle 4 2 16 1 2 6 2 37 displaystyle 1 2 6 2 37 displaystyle 5 6 5 2 6 2 61 displaystyle 5 2 6 2 61 6 2 1 2 37 displaystyle 6 2 1 2 37 3 2 7 2 58 displaystyle 3 2 7 2 58 5 2 8 2 89 displaystyle 5 2 8 2 89 8 2 9 2 145 displaystyle 8 2 9 2 145 1 2 4 2 5 2 42 displaystyle 1 2 4 2 5 2 42 4 2 2 2 20 displaystyle 4 2 2 2 20 2 2 0 2 4 displaystyle 2 2 0 2 4 4 2 16 displaystyle 4 2 16 1 2 6 2 37 displaystyle 1 2 6 2 37 displaystyle 因此28和32是快樂數 而在37和56的計算過程中 數字會重複出現 繼續計算的結果只會是上述數字的循環 不快樂數循環 不會出現1 因此37和56不是快樂數 不是快樂數的數稱為不快樂數 英語 unhappy number 所有不快樂數的數位平方和計算 最後都會進入 4 16 37 58 89 145 42 20 4 的循環中 在十進位下 100以內的快樂數有 OEIS數列A007770 1 7 10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97 100 共20個 目录 1 快樂數表格 2 快樂數的因數 3 快樂質數 4 快樂完全數 5 其他進制的快樂數 6 其他進制的不快樂數循環 7 其他性質 8 Python程式碼 9 相關條目 10 外部連結快樂數表格 编辑以下是小於100的快樂數表格 綠色數字 表示它是快樂數 紅色數字 表示它是不快樂數循環 00 01 02 03 04 05 06 07 08 0910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52 53 54 55 56 57 58 5960 61 62 63 64 65 66 67 68 6970 71 72 73 74 75 76 77 78 7980 81 82 83 84 85 86 87 88 8990 91 92 93 94 95 96 97 98 99以下是100到小於200的快樂數表格 綠色數字 表示它是快樂數 紅色數字 表示它是不快樂數循環 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109110 111 112 113 114 115 116 117 118 119120 121 122 123 124 125 126 127 128 129130 131 132 133 134 135 136 137 138 139140 141 142 143 144 145 146 147 148 149150 151 152 153 154 155 156 157 158 159160 161 162 163 164 165 166 167 168 169170 171 172 173 174 175 176 177 178 179180 181 182 183 184 185 186 187 188 189190 191 192 193 194 195 196 197 198 199以下是200到小於300的快樂數表格 綠色數字 表示它是快樂數 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209210 211 212 213 214 215 216 217 218 219220 221 222 223 224 225 226 227 228 229230 231 232 233 234 235 236 237 238 239240 241 242 243 244 245 246 247 248 249250 251 252 253 254 255 256 257 258 259260 261 262 263 264 265 266 267 268 269270 271 272 273 274 275 276 277 278 279280 281 282 283 284 285 286 287 288 289290 291 292 293 294 295 296 297 298 299300以內的快樂數沒有其中一位是5 300以內的數其中有一位是5 它一定不是快樂數 以下是300到小於400的快樂數表格 綠色數字 表示它是快樂數 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309310 311 312 313 314 315 316 317 318 319320 321 322 323 324 325 326 327 328 329330 331 332 333 334 335 336 337 338 339340 341 342 343 344 345 346 347 348 349350 351 352 353 354 355 356 357 358 359360 361 362 363 364 365 366 367 368 369370 371 372 373 374 375 376 377 378 379380 381 382 383 384 385 386 387 388 389390 391 392 393 394 395 396 397 398 399發現10 10 100 100等表格的快樂數表格有線對稱 快樂數的因數 编辑以下是300以內的快樂數因數 快樂數 因數 因數個數 奇偶數 數字和1 1 1 奇數 17 1 7 2 奇數 710 1 2 5 10 4 偶數 113 1 13 2 奇數 419 1 19 2 奇數 1023 1 23 2 奇數 528 1 2 4 7 14 28 6 偶數 1031 1 31 2 奇數 432 1 2 4 8 16 32 6 偶數 544 1 2 4 11 22 44 6 偶數 849 1 7 49 3 奇數 1368 1 2 4 17 34 68 6 偶數 1470 1 2 5 7 10 14 35 70 8 偶數 779 1 79 2 奇數 1682 1 2 41 82 4 偶數 1086 1 2 43 86 4 偶數 1491 1 7 13 91 4 奇數 1094 1 2 47 94 4 偶數 1397 1 97 2 奇數 16100 1 2 4 5 10 20 25 50 100 9 偶數 1103 1 103 2 奇數 4109 1 109 2 奇數 10129 1 3 43 129 4 奇數 12130 1 2 5 10 13 26 65 130 8 偶數 4133 1 7 19 133 4 奇數 7139 1 139 2 奇數 13167 1 167 2 奇數 14176 1 2 4 8 11 16 22 44 88 176 10 偶數 14188 1 2 4 47 94 188 6 偶數 17190 1 2 5 10 19 38 95 190 8 偶數 10192 1 2 3 4 6 8 12 16 24 32 48 64 96 192 14 偶數 12193 1 193 2 奇數 13203 1 7 29 203 4 奇數 5208 1 2 4 8 13 16 26 52 104 208 10 偶數 10219 1 3 73 219 4 奇數 12226 1 2 113 226 4 偶數 10230 1 2 5 10 23 46 115 230 8 偶數 5236 1 2 4 59 118 236 6 偶數 11239 1 239 2 奇數 14262 1 2 131 262 4 偶數 10263 1 263 2 奇數 11280 1 2 4 5 7 8 10 14 20 28 35 40 56 70 140 280 16 偶數 10291 1 3 97 291 4 奇數 12293 1 293 2 奇數 14由表格可知 128以內快樂數沒有因數3 6 9等數 如果128以內的數是3的倍數等 它一定不是快樂數 1000以內快樂數沒有因數9 15 18 21等數 如果1000以內的數是9的倍數等 它一定不是快樂數 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除 即尾數是 25 50或75的數 如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數 它一定不是快樂數 1000以內的快樂數有143個 只有7個是3的倍數 129 192 219 291 888 912 921 機率 5 1000以內的快樂數有143個 有其中一位是5的只有12個 356 365 536 556 563 565 566 635 653 655 656 665 機率 8 1000以內的快樂數有143個 只有3個是25的倍數 100 700 1000 機率 2 快樂質數 编辑在十進位下 300以內的快樂質數有 OEIS數列A035497 7 13 19 23 31 79 97 103 109 139 167 193 239 263 293 共15個 快樂完全數 编辑已知的51個完全數 只有3個是快樂數 28 496 8128 其他進制的快樂數 编辑三進制 1 3 9 13 17 23 25 27 31 35 37 39 47 51 53 59 61 65 69 71 73 75 77 79 81 85 89 91 93 OEIS數列A239320 五進制 1 5 7 11 19 23 25 27 33 35 41 43 49 51 55 79 81 83 91 93 95 99 OEIS數列A240849 任何進制 最小快樂數且大於1 2 3 2 5 6 7 8 3 7 11 12 13 14 15 2 17 2 5 2 21 22 23 24 5 26 27 28 3 2 31 32 33 3 35 6 31 38 39 40 13 42 43 44 45 46 47 48 7 50 51 52 31 54 53 56 57 58 59 54 61 62 63 8 65 66 67 12 69 70 71 72 OEIS數列A161871 其他進制的不快樂數循環 编辑2進制 每個數都是快樂數3進制 2 11 2 written in base 10 2 4 24進制 每個數都是快樂數5進制 4 31 20 4 23 23 written in base 10 4 16 10 4 13 136進制 5 41 25 45 105 42 32 21 5 written in base 10 5 25 17 29 41 26 20 13 57进制 2 4 22 11 2 34 34 written in base 10 2 4 16 8 2 25 258進制 4 20 4 5 31 12 5 32 15 32 written in base 10 4 16 4 5 25 10 5 26 13 269进制 58 108 72 58 55 55 written in base 10 53 89 65 53 50 5010进制 4 16 37 58 89 145 42 20 411進制 75 68 91 75 23 12 5 23 written in base 10 82 74 100 82 25 13 5 2512进制 22 8 54 35 2A 88 A8 118 56 51 22 21 5 21 written in base 10 26 8 64 41 34 104 128 164 66 61 26 25 5 2513进制 79 A0 79 36 36 B2 98 B2 67 67 14 14 written in base 10 100 130 100 45 45 145 125 145 85 85 17 1716进制 D A9 B5 92 55 32 D written in base 10 13 169 181 146 85 50 13其他性質 编辑快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數 不快樂數的情況也是 例如 49是快樂數 94 4900也是快樂數 123不是快樂數 321 10203 123000也不是快樂數 通过检查十进制中前一百万个快乐数 它们的自然密度似乎约为0 15 十进制快乐数也许没有渐近密度 快乐数的自然密度上限大于0 18577 下限小于0 1138 1 十進位不快樂數的循環只有一個 是 4 16 37 58 89 145 42 20 4 Python程式碼 编辑 ishappy number def ishappy n a while n not in a a append n n sum int x 2 for x in str n return happy if n 1 else unhappy 相關條目 编辑幸福數 英语 Fortunate number 哈沙德數 幸運數外部連結 编辑Happy number calculator 可以線上判斷數字是否為快樂數 英文 Gilmer Justin On the Density of Happy Numbers Integers 2013 13 2 2 Bibcode 2011arXiv1110 3836G arXiv 1110 3836 取自 https zh wikipedia org w index php title 快樂數 amp oldid 70293664, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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