幾何分佈

在概率论和统计学中，幾何分佈（英語：Geometric distribution）指的是以下两种離散型機率分布中的一种：

• 在伯努利試驗中，得到一次成功所需要的試驗次数${\displaystyle X}$。${\displaystyle X}$的值域是{ 1, 2, 3, ... }

幾何分布

概率質量函數
累積分布函數
參數	${\displaystyle 0<p\leq 1}$成功概率（实）	${\displaystyle 0<p\leq 1}$成功概率（实）
支撑集	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$	${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!}$
概率质量函数 (pmf)	${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p\!}$	${\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}$
累積分布函數 (cdf)	${\displaystyle 1-(1-p)^{k}\!}$	${\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}$
期望值	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}$
中位數	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!}$（如果${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$是整数，则中位数不唯一）	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log _{2}(1-p)}}\right\rceil \!-1}$（如果${\displaystyle -1/\log _{2}(1-p)}$是整数，则中位数不唯一）
众数	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
方差	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$
偏度	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$
超值峰度	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$
熵	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$	${\displaystyle {\tfrac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$
動差生成函數 (mgf)	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$, for ${\displaystyle t<-\ln(1-p)\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$
特征函数	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$

• 在得到第一次成功之前所经历的失败次数${\displaystyle Y=X-1}$。Y的值域是{ 0, 1, 2, 3, ... }

实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。

这两种分布不应该混淆。前一种形式（${\displaystyle X}$的分布）经常被称作shifted geometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。

如果每次试验的成功概率是${\displaystyle p}$，那么${\displaystyle k}$次试验中，第${\displaystyle k}$次才得到成功的概率是，

${\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}$

其中${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$.

上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为，

${\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}$

其中${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$

两种情况产生的序列都是几何数列。这是几何分布的名字来源。

比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个${\displaystyle p={\frac {1}{6}}}$的几何分布。

性质

呈几何分布的随机变量X的期望值是1/p，方差是 （1-p)/p²:

${\displaystyle \mathrm {E} (X)={\frac {1}{p}},\qquad \mathrm {var} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$ 

幾何分布具有非記憶性的性質（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）

這表示如果一個隨機變數呈幾何分布，它的條件機率遵循：

${\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ }$ s, t ∈ℕ.

记号

若随机变量${\displaystyle {\mathit {X}}}$ 服从参数为${\displaystyle {\mathit {p}}}$ 的几何分布，则记为${\displaystyle X\sim G(p)}$ .

用途

在重复多次的伯努利試驗中，试验进行到某种结果出现第一次为止，此时的试验总次数服从几何分布，如：射击，首次击中目标时的次数。

參見

• 機率分布
• 超几何分布
• 負二項分布
• 指數分布