平衡集

在線性代數和相關的數學領域中，一個平衡集（balanced set）、圓集或圓盤是在一個域${\displaystyle K}$上加上絕對值函數${\displaystyle ||}$的向量空間上的集合${\displaystyle S}$，使得對於所有純量${\displaystyle \alpha }$以及${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$：

${\displaystyle \alpha S\subseteq S}$

其中

${\displaystyle \alpha S:=\{\alpha x\mid x\in S\}}$

集合S的平衡包（balanced hull）或平衡包絡（balanced envelope）是包含S的最小平衡集。它可以由取所有包含S的平衡集的交集所構造出來。

例子

• 在賦範向量空間內的開或閉球是平衡集。
• 任何實或複向量空間的子空間是平衡集。
• 一個平衡集合族的笛卡兒積在對應的向量空間（相同的域K上）的積空間是平衡的。
• 考慮複數域ℂ為一維向量空間，平衡集為ℂ本身、空集和以0為中心的開圓盤與閉圓盤（設想複數為平面上的點）。反之，在二維歐幾里得空間內有更多平衡集，例如任何以(0,0)為中點的線段。因此，ℂ和ℝ²在向量空間結構上是完全不同的。
• 若p是線性空間X上的半範數，對於任何常數c>0，集合{x ∈ X | p(x)≤c}是平衡的。

性質

• 平衡集的併集和交集是平衡集。
• 平衡集的閉包是平衡集。
• 根據定義（非性質），一個集合是絕對凸集若且唯若它是凸和平衡。
• 所有平衡集都是對稱集。

參見

• 星形域

參考文獻

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson. Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 1964: 4. 
• W. Rudin. Functional Analysis 2nd ed. McGraw-Hill, Inc. 1990. ISBN 0-07-054236-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• H.H. Schaefer. Topological Vector Spaces. GTM 3. Springer-Verlag. 1970: 11. ISBN 0-387-05380-8.