小十二面半十二面體

提示：此条目的主题不是小二十面半十二面體或小十二面半二十面體。

小十二面半十二面體是一種擬正半多面體^[1]，外觀看起來像有深及幾何中心的三角形坑洞的截半十二面體^[2]:143，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述^[3]。

小十二面半十二面體

類別	均勻星形多面體 半多面體
對偶多面體	小十二面半無窮星形十二面體（英语：Small dodecahemidodecacron）
識別
名稱	小十二面半十二面體 Small dodecahemidodecahedron
參考索引	U51, C65, W91
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sidhid
數學表示法
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	5/4 5 | 5
性質
面	18
邊	60
頂點	30
歐拉特徵數	F=18, E=60, V=30 （χ=-12）
組成與佈局
面的種類	12個正五邊形 6個正十邊形
頂點圖	5.10.5/4.10
對稱性
對稱群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3], (*532)
圖像
5.10.5/4.10 （頂點圖） 小十二面半無窮星形十二面體（英语：Small dodecahemidodecacron） （對偶多面體）
查 论 编

性質

小十二面半十二面體由18個面、60條邊和30個頂點組成^[4]，每個頂點都是2個十邊形和2個五邊形的公共頂點，並且十邊形和五邊形依照著十邊形、五邊形、十邊形、五邊形的順序沿著交叉四邊形分布^[5]，在頂點布局中可以用{10, 5/4, 10, 5}來表示。^[4]小十二面半十二面體可以視為基於半多面體的一種刻面結果^[6][7]，其對應的原像為截半二十面體，更精確地說，小十二面半十二面體的邊和頂點的排列方式皆與截半二十面體相同，差別僅在組成的面之種類不同：小十二面半十二面體由五邊形和十邊形構成；而截半二十面體由五邊形和三角形構成。^[8]

構成

小十二面半十二面體向內凹陷部分之結構與小二十面半十二面體相同，並且可透過移除小二十面半十二面體的三角形面並補上五邊形面來構造。^[2]:143此外若作為一個簡單多面體，則這個立體可以視為由12個五邊形和20個向內凹陷的三角錐側面所組成^[2]:143，也可以視為由12個五角錐拼湊成的立體。^[9][10]

 

二面角

小十二面半十二面體只有一種二面角，為五邊形和十邊形的二面角 ^[11]，其值為五平方根倒數的反餘弦值：^[12]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 1.10714872\approx 63.4349488^{\circ }}$ 

頂點座標

小十二面半十二面體的頂點座標與截半二十面体相同，差別僅在於頂點間相連方式的不同^[13][14]，因此若小十二面半十二面體幾何中心位於原點，且邊長為單位長則其頂點座標為：^[8][11]

${\displaystyle \left(0\,,0\,,\pm \varphi \right)}$ ^[8]

(±1/2, ±φ/2, ±1 + φ/2)^[8]

其中φ是黃金比例，值為${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 。

相關多面體

小十二面半十二面體之邊的排列方式與截半二十面體及小二十面半十二面體相同^[8]。小十二面半十二面體中，五邊形的排列方式與截半二十面體相同；十邊形的排列方式與小二十面半十二面體相同。^[11]這三個立體的邊完全共用，面則部分共用。^[15]

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  截半二十面體

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  小二十面半十二面體

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  小十二面半十二面體

參見

• 半多面體

參考文獻

1. David I. McCooey. Versi-Regular Polyhedra. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容于2021-07-30）. 
2. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容于2021-08-31）. 
3. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172. 
4. Roman E. Maeder. 49: small icosihemidodecahedron. mathconsult.ch. MathConsult AG. 1997 [2021-09-06]. （原始内容于2020-02-17）. 
5. Small Dodecahemidodecahedron. Dynamical Geometry, National Tsing Hua University. 2011 [2021-09-06]. （原始内容于2021-09-06）. 
6. Perry Iv, John J and Perman, Jason A and Zaworotko, Michael J. Design and synthesis of metal--organic frameworks using metal--organic polyhedra as supermolecular building blocks. Chemical Society Reviews (Royal Society of Chemistry). 2009, 38 (5): 1400–1417. 
7. Vardhan, Harsh and Yusubov, Mekhman and Verpoort, Francis. Self-assembled metal--organic polyhedra: An overview of various applications. Coordination Chemistry Reviews (Elsevier). 2016, 306: 171–194. 
8. Klitzing, Richard. icosidodecahedron: o3x5o - id. bendwavy.org. [2016-08-30]. （原始内容于2016-03-24）. 
9. Gunilla Borgefor. Uniform polyhedra, part 1. Centre for Image Analysis, Uppsala University, Sweden. [2021-09-06]. （原始内容于2021-09-06）. 
10. Hafner, Izidor. Dissection of small stellated dodecahedron and great stellated dodecahedron to rhombic triacontahedron and hexecontahedron. Visual Mathematics (Mathematical Institute SASA). 2007, (34). 
11. Klitzing, Richard. small dodecahemidodecahedron : sidhid. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容于2021-09-05）. 
12. David I. McCooey. Versi-Regular Polyhedra: Small Dodecahemidodecahedron. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容于2019-10-03）. 
13. Data of Small Dodecahemidodecahedron. dmccooey.com. [2018-10-17]. （原始内容于2017-10-31）. 
14. Data of Icosidodecahedron. dmccooey.com. [2018-10-17]. （原始内容于2017-10-31）. 
15. Klitzing, Richard. id+seihid+sidhid. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容于2021-09-05）. 

外部連結

• 小十二面半十二面體 的三維模型. geogebra.org. [2021-09-06]. （原始内容于2021-09-06）.