性质 编辑
可收缩空间是具有点的同伦类的空间;可见,可收缩空间的所有同伦群都是平凡群。因此,任何具有非平凡同伦群的空间都不可收缩;由于奇异同调是同伦不变量,因此可收缩空间的既约同调群都是平凡的。
对拓扑空间X,下面这些情况等价:
- X是可收缩的(即恒等映射零伦)
- X与单点空间同伦等价
- X可收缩到一点上(不过也存在不强烈收缩到一点的可收缩空间)
- 对任意路径连通空间Y,任意两映射f,g: X → Y同伦
- 对任意空间Y,任意映射f: Y → X是零伦的。
空间X上的锥都可收缩。于是,任何空间都可嵌入到可收缩空间(这也说明,可收缩空间的子空间不一定可收缩)。
此外,当且仅当存在X的锥到X的收缩时,X才可收缩。
可收缩空间都是道路联通、单连通的。另外,由于所有更高的同伦群都为零,因此对所有n ≥ 0,每个可收缩空间都是n-连通的。
局部可收缩空间 编辑
若对点x的所有邻域U,都有U中的x的邻域V使V的包含在U中零伦,则称拓扑空间X在点x局部可收缩。若空间在每点都可收缩,则称空间为局部可收缩空间。这个定义有时也称作“几何拓扑学家的局部可收缩”,是这术语最常见的用法。艾伦·哈切尔的标准代数拓扑学文本中,这个定义被称作“弱局部可收缩”,还有其他用途。
若每点都有可收缩邻域的
邻域基,则称
X为
强局部可收缩的。可收缩空间不一定是局部可收缩的,反之亦然。例如,梳空间是可收缩的,但不是局部可收缩的(若是,则就会是局部连通的,但并不是)。局部可收缩空间是局部
n连通的(
n ≥ 0),还是局部单联通空间、
局部路径连通、局部连通的。圆是(强)局部可收缩空间,但不是可收缩空间。
强局部可收缩性是严格强于局部可收缩性的性质,反例是复杂的,第一个反例由卡罗尔·博苏克和Mazurkiewicz在论文Sur les rétractes absolus indécomposables, C.R.. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112)中给出。
关于哪个定义才是局部可收缩的“标准”定义,有一些分歧;第一个定义更常用于几何拓扑,历史上尤多,而第二个定义更符合“局部”一词在拓扑性质方面的典型用法。在解释有关这些性质的结果时,应始终注意定义。
例子与反例 编辑
参考文献 编辑
可收缩空间, 一些和不的说明, 空间a, c是可收缩的, f不是, 若拓扑空间x上的恒等映射是零伦的, 即与某常数映射同伦, 则称拓扑空间是, 直观地说, 就是可以不断收缩到某点的空间, 目录, 性质, 局部, 例子与反例, 参考文献性质, 编辑是具有点的同伦类的空间, 可见, 的所有同伦群都是平凡群, 因此, 任何具有非平凡同伦群的空间都不可收缩, 由于奇异同调是同伦不变量, 因此的既约同调群都是平凡的, 对拓扑空间x, 下面这些情况等价, x是可收缩的, 即恒等映射零伦, x与单点空间同伦等价, x可收缩到一点. 一些可收缩空间和不可收缩空间的说明 空间A B C是可收缩的 D E F不是 若拓扑空间X上的恒等映射是零伦的 即与某常数映射同伦 则称拓扑空间是可收缩空间 1 2 直观地说 可收缩空间就是可以不断收缩到某点的空间 目录 1 性质 2 局部可收缩空间 3 例子与反例 4 参考文献性质 编辑可收缩空间是具有点的同伦类的空间 可见 可收缩空间的所有同伦群都是平凡群 因此 任何具有非平凡同伦群的空间都不可收缩 由于奇异同调是同伦不变量 因此可收缩空间的既约同调群都是平凡的 对拓扑空间X 下面这些情况等价 X是可收缩的 即恒等映射零伦 X与单点空间同伦等价 X可收缩到一点上 不过也存在不强烈收缩到一点的可收缩空间 对任意路径连通空间Y 任意两映射f g X Y同伦 对任意空间Y 任意映射f Y X是零伦的 空间X上的锥都可收缩 于是 任何空间都可嵌入到可收缩空间 这也说明 可收缩空间的子空间不一定可收缩 此外 当且仅当存在X的锥到X的收缩时 X才可收缩 可收缩空间都是道路联通 单连通的 另外 由于所有更高的同伦群都为零 因此对所有n 0 每个可收缩空间都是n 连通的 局部可收缩空间 编辑若对点x的所有邻域U 都有U中的x的邻域V使V的包含在U中零伦 则称拓扑空间X在点x局部可收缩 若空间在每点都可收缩 则称空间为局部可收缩空间 这个定义有时也称作 几何拓扑学家的局部可收缩 是这术语最常见的用法 艾伦 哈切尔的标准代数拓扑学文本中 这个定义被称作 弱局部可收缩 还有其他用途 若每点都有可收缩邻域的邻域基 则称X为强局部可收缩的 可收缩空间不一定是局部可收缩的 反之亦然 例如 梳空间是可收缩的 但不是局部可收缩的 若是 则就会是局部连通的 但并不是 局部可收缩空间是局部n连通的 n 0 还是局部单联通空间 局部路径连通 局部连通的 圆是 强 局部可收缩空间 但不是可收缩空间 强局部可收缩性是严格强于局部可收缩性的性质 反例是复杂的 第一个反例由卡罗尔 博苏克和Mazurkiewicz在论文Sur les retractes absolus indecomposables C R Acad Sci Paris 199 1934 110 112 中给出 关于哪个定义才是局部可收缩的 标准 定义 有一些分歧 第一个定义更常用于几何拓扑 历史上尤多 而第二个定义更符合 局部 一词在拓扑性质方面的典型用法 在解释有关这些性质的结果时 应始终注意定义 例子与反例 编辑欧氏空间都是可收缩空间 欧氏空间上的星形域也都是 怀特海德流形是可收缩的 有限维球面不可收缩 无限维希尔伯特空间中的单位球面是可收缩的 两室房是可收缩空间 但直观上并不是 流形和CW复形都局部可收缩 但一般不可收缩 华沙圈是用 0 1 到 1 sin 1 的弧 封闭 拓扑学家正弦曲线得到的 是1维连续的 其同伦群都平凡 但不可收缩 参考文献 编辑 Munkres James R Topology 2nd Prentice Hall 2000 ISBN 0 13 181629 2 Hatcher Allen Algebraic Topology Cambridge University Press 2002 2023 12 11 ISBN 0 521 79540 0 原始内容存档于2012 02 06 取自 https zh wikipedia org w index php title 可收缩空间 amp oldid 80118424, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,
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