同倫群

在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 ${\displaystyle S^{n}}$ 的情形，至今也沒有完整結果。

定義

設 ${\displaystyle X}$  為拓撲空間而 ${\displaystyle S^{n}}$  為 ${\displaystyle n}$  維球面。選定基點 ${\displaystyle a\in S^{n},x\in X}$ 。定義 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$  為 ${\displaystyle [S^{n},X]}$ ，也就是由保持基點的連續映射 ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$  的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：${\displaystyle s_{1}\wedge \cdots \wedge s_{n}}$  表示 ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,1]^{n}}$  在商映射 ${\displaystyle [0,1]^{n}\to [0,1]^{n}/\partial ([0,1]^{n})\simeq S^{n}}$  下的像。取 ${\displaystyle S^{n}}$  的基點為 ${\displaystyle a=0\wedge \cdots \wedge 0}$ 。

注意到當 ${\displaystyle n=0}$  時，${\displaystyle S^{0}=\{-1,1\}}$  而 ${\displaystyle \pi _{0}(X,x)}$  的元素一一對應到 ${\displaystyle X}$  的連通分支。

 

基本群的群運算

對於 ${\displaystyle n\geq 1}$ ，${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$  帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

${\displaystyle s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}}$ 

在此 ${\displaystyle S^{n}\vee S^{n}}$  定義為將兩份 ${\displaystyle S^{n}}$  沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 ${\displaystyle s}$  定義為

${\displaystyle s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}}$ 

直觀來看，${\displaystyle s}$  的效應相當於將球面 ${\displaystyle S^{n}}$  沿赤道掐扁。

給定 ${\displaystyle f,g:I^{n}\to X}$ ，我們定義 ${\displaystyle f*g:=(f\sqcup g)\circ s}$ ，由於 ${\displaystyle f(a)=g(a)=x}$ ，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 ${\displaystyle f*g}$  僅依賴於 ${\displaystyle f,g}$  的同倫類。

可以證明運算 ${\displaystyle f,g\mapsto f*g}$  滿足群公理，其單位元素為常值映射 ${\displaystyle \forall s\in S^{n},\;e(s)=x}$ 。${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$  不外就是基本群；而當 ${\displaystyle n\geq 2}$  時，${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$  是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 ${\displaystyle [S^{n},X]}$  等同於 ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$  在 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$  作用下的軌道集。可見若 ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\neq 0}$ ，${\displaystyle [S^{n},X]}$  未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列

設 ${\displaystyle p:E\to B}$  為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 ${\displaystyle F}$ 。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1}$ 

儘管這裡的 ${\displaystyle \pi _{0}}$  只是個集合，而 ${\displaystyle \pi _{1}}$  未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（${\displaystyle \pi _{n\geq 1}}$  的單位元、${\displaystyle \pi _{0}}$  中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群

給定 ${\displaystyle A\subset X}$ ，可以定義相對同倫群 ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$  為映射 ${\displaystyle f:(D^{n},S^{n-1})\to (X,x)}$  的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 ${\displaystyle f(S^{n-1})=x}$  的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 ${\displaystyle A}$  為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻

• Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, （原始内容存档于2012-02-20）