反双曲函数, 是双曲函数的反函数, 与反圆函数不同之处是它的前缀是ar意即area, 面积, 而不是arc, 因为双曲角是以双曲线, 通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的, 而圆角是以弧长与半径的比值定义, 反雙曲函數示意圖, 由于已知的技术原因, 图表暂时不可用, 带来不便, 我们深表歉意, 幾個反雙曲函數的圖形, 目录, 數學符號, 主值, 的导数, 幂级数展开式, 的不定积分, 註釋, 外部链接, 参见數學符號, 编辑符号s, displaystyle, mathrm, sinh, mathr. 反双曲函数是双曲函数的反函数 与反圆函数不同之处是它的前缀是ar意即area 面积 而不是arc 弧 因为双曲角是以双曲线 通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的 而圆角是以弧长与半径的比值定义 反雙曲函數示意圖 由于已知的技术原因 图表暂时不可用 带来不便 我们深表歉意 幾個反雙曲函數的圖形 目录 1 數學符號 2 主值 3 反双曲函数的导数 4 幂级数展开式 5 反双曲函数的不定积分 6 註釋 7 外部链接 8 参见數學符號 编辑符号s i n h 1 c o s h 1 displaystyle mathrm sinh 1 mathrm cosh 1 nbsp 等常用于a r s i n h a r c o s h displaystyle mathrm arsinh mathrm arcosh nbsp 等 但是这种符号有时在s i n h 1 x displaystyle mathrm sinh 1 x nbsp 和1 s i n h x displaystyle frac 1 mathrm sinh x nbsp 之间易造成混淆 主值 编辑下表列出基本的反双曲函数 名称 常用符号 定义 定义域 值域 图像反双曲正弦 y a r s i n h x displaystyle y mathrm arsinh x nbsp ln x x 2 1 displaystyle ln x sqrt x 2 1 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R displaystyle mathbb R nbsp nbsp 反双曲余弦 y a r c o s h x displaystyle y mathrm arcosh x nbsp ln x x 2 1 displaystyle ln x pm sqrt x 2 1 nbsp 註 1 1 displaystyle 1 infty nbsp 0 displaystyle 0 infty nbsp nbsp 反双曲正切 y a r t a n h x displaystyle y mathrm artanh x nbsp 1 2 ln 1 x 1 x displaystyle frac 1 2 ln left frac 1 x 1 x right nbsp 1 1 displaystyle 1 1 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp nbsp 反双曲余切 y a r c o t h x displaystyle y mathrm arcoth x nbsp 1 2 ln x 1 x 1 displaystyle frac 1 2 ln left frac x 1 x 1 right nbsp 1 1 displaystyle infty 1 cup 1 infty nbsp 0 0 displaystyle infty 0 cup 0 infty nbsp nbsp 反双曲正割 y a r s e c h x displaystyle y mathrm arsech x nbsp ln 1 x 1 x 2 x displaystyle ln left frac 1 x frac sqrt 1 x 2 x right nbsp 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 0 displaystyle 0 infty nbsp nbsp 反双曲余割 y a r c s c h x displaystyle y mathrm arcsch x nbsp ln 1 x 1 x 2 x displaystyle ln left frac 1 x frac sqrt 1 x 2 left x right right nbsp 0 0 displaystyle infty 0 cup 0 infty nbsp 0 0 displaystyle infty 0 cup 0 infty nbsp nbsp 反双曲函数的导数 编辑d d x arsinh x 1 1 x 2 d d x arcosh x 1 x 2 1 x gt 1 d d x artanh x 1 1 x 2 x lt 1 d d x arcoth x 1 1 x 2 x gt 1 d d x arsech x 1 x 1 x 2 x 0 1 d d x arcsch x 1 x 1 x 2 x 0 displaystyle begin aligned frac d dx operatorname arsinh x amp frac 1 sqrt 1 x 2 frac d dx operatorname arcosh x amp frac 1 sqrt x 2 1 qquad x gt 1 frac d dx operatorname artanh x amp frac 1 1 x 2 qquad x lt 1 frac d dx operatorname arcoth x amp frac 1 1 x 2 qquad x gt 1 frac d dx operatorname arsech x amp frac 1 x sqrt 1 x 2 qquad x in 0 1 frac d dx operatorname arcsch x amp frac 1 x sqrt 1 x 2 qquad x text 0 end aligned nbsp 求导范例 设8 arsinh x 则 d arsinh x d x d 8 d sinh 8 1 cosh 8 1 1 sinh 2 8 1 1 x 2 displaystyle frac d operatorname arsinh x dx frac d theta d sinh theta frac 1 cosh theta frac 1 sqrt 1 sinh 2 theta frac 1 sqrt 1 x 2 nbsp 幂级数展开式 编辑arsinh x displaystyle operatorname arsinh x nbsp x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 1 3 5 2 4 6 x 7 7 displaystyle x left frac 1 2 right frac x 3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac x 5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac x 7 7 cdots nbsp n 0 1 n 2 n 2 2 n n 2 x 2 n 1 2 n 1 x lt 1 displaystyle sum n 0 infty left frac 1 n 2n 2 2n n 2 right frac x 2n 1 2n 1 qquad left x right lt 1 nbsp dd arcosh x displaystyle operatorname arcosh x nbsp ln 2 x 1 2 x 2 2 1 3 2 4 x 4 4 1 3 5 2 4 6 x 6 6 displaystyle ln 2x left left frac 1 2 right frac x 2 2 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac x 4 4 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac x 6 6 cdots right nbsp ln 2 x n 1 1 n 2 n 2 2 n n 2 x 2 n 2 n x gt 1 displaystyle ln 2x sum n 1 infty left frac 1 n 2n 2 2n n 2 right frac x 2n 2n qquad x gt 1 nbsp dd artanh x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 n 0 x 2 n 1 2 n 1 x lt 1 displaystyle operatorname artanh x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 qquad left x right lt 1 nbsp arcsch x arsinh x 1 displaystyle operatorname arcsch x operatorname arsinh x 1 nbsp x 1 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 1 3 5 2 4 6 x 7 7 displaystyle x 1 left frac 1 2 right frac x 3 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac x 5 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac x 7 7 cdots nbsp n 0 1 n 2 n 2 2 n n 2 x 2 n 1 2 n 1 x lt 1 displaystyle sum n 0 infty left frac 1 n 2n 2 2n n 2 right frac x 2n 1 2n 1 qquad left x right lt 1 nbsp dd arsech x arcosh x 1 displaystyle operatorname arsech x operatorname arcosh x 1 nbsp ln 2 x 1 2 x 2 2 1 3 2 4 x 4 4 1 3 5 2 4 6 x 6 6 displaystyle ln frac 2 x left left frac 1 2 right frac x 2 2 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac x 4 4 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac x 6 6 cdots right nbsp ln 2 x n 1 1 n 2 n 2 2 n n 2 x 2 n 2 n 0 lt x 1 displaystyle ln frac 2 x sum n 1 infty left frac 1 n 2n 2 2n n 2 right frac x 2n 2n qquad 0 lt x leq 1 nbsp dd arcoth x artanh x 1 displaystyle operatorname arcoth x operatorname artanh x 1 nbsp x 1 x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle x 1 frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots nbsp n 0 x 2 n 1 2 n 1 x gt 1 displaystyle sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 qquad left x right gt 1 nbsp dd arcosh 2 x 2 1 2 arcosh x displaystyle operatorname arcosh 2x 2 1 2 operatorname arcosh x nbsp arcosh 2 x 2 1 2 arsinh x displaystyle operatorname arcosh 2x 2 1 2 operatorname arsinh x nbsp 反双曲函数的不定积分 编辑 arsinh x d x x arsinh x x 2 1 C arcosh x d x x arcosh x x 2 1 C x gt 1 artanh x d x x artanh x 1 2 ln 1 x 2 C x lt 1 arcoth x d x x arcoth x 1 2 ln x 2 1 C x gt 1 arsech x d x x arsech x arcsin x C x 0 1 arcsch x d x x arcsch x arsinh x C x 0 displaystyle begin aligned int operatorname arsinh x dx amp x operatorname arsinh x sqrt x 2 1 C int operatorname arcosh x dx amp x operatorname arcosh x sqrt x 2 1 C qquad x gt 1 int operatorname artanh x dx amp x operatorname artanh x frac 1 2 ln left 1 x 2 right C qquad x lt 1 int operatorname arcoth x dx amp x operatorname arcoth x frac 1 2 ln left x 2 1 right C qquad x gt 1 int operatorname arsech x dx amp x operatorname arsech x arcsin x C qquad x in 0 1 int operatorname arcsch x dx amp x operatorname arcsch x left operatorname arsinh x right C qquad x neq 0 end aligned nbsp 使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们 註釋 编辑 双曲余弦函数是偶函数 所以对于一个y值 y gt 1 都有两个x值与之对应 取反的时候只取一个 通常是正的 即可 外部链接 编辑Inverse trigonometric functions 页面存档备份 存于互联网档案馆 at MathWorld参见 编辑双曲函数 取自 https zh wikipedia org w index php title 反双曲函数 amp oldid 71760549, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,